Potenzgesetze — Rechenregeln für Exponenten mit Beispielen

Potenzgesetze sagen dir, was mit Potenzen passiert, wenn du sie multiplizierst, dividierst oder eine Potenz noch einmal potenzierst. Wenn du erkennst, welche Struktur vorliegt, lassen sich die meisten Aufgaben mit Potenzen in wenigen Schritten vereinfachen.

Hier sind die wichtigsten Potenzgesetze:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$ $$a^0 = 1 \quad (a \ne 0)$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \ne 0)$$

Diese Regeln haben nicht alle dieselbe Voraussetzung. Die Bedingung, dass etwas ungleich null sein muss, ist immer dann wichtig, wenn eine Division vorkommt.

Was ein Exponent bedeutet

Ein Exponent gibt an, wie oft eine Basis als Faktor verwendet wird. Zum Beispiel:

$$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$$

Diese Idee der wiederholten Multiplikation erklärt, warum sich Exponenten addieren, wenn du gleiche Basen multiplizierst. Du fasst Gruppen desselben Faktors zusammen.

Die wichtigsten Potenzgesetze mit Beispielen

Produktregel

Wenn die Basis gleich ist, addierst du die Exponenten:

$$x^3 \cdot x^5 = x^8$$

Das funktioniert, weil es insgesamt $3+5$ Faktoren von $x$ gibt.

Quotientenregel

Wenn die Basis gleich ist und die Basis nicht null ist, subtrahierst du die Exponenten:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^5$$

Du kannst dir das als Kürzen gemeinsamer Faktoren vorstellen.

Potenz einer Potenz

Wenn eine Potenz noch einmal potenziert wird, multiplizierst du die Exponenten:

$$(z^4)^3 = z^{12}$$

Das ist wiederholte Multiplikation von wiederholter Multiplikation.

Potenz eines Produkts oder Quotienten

Verteile den Exponenten auf Multiplikation und Division:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

Nullter und negativer Exponent

Für jede von null verschiedene Basis gilt:

$$a^0 = 1$$

und

$$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$$

Ein negativer Exponent bedeutet nicht, dass das Ergebnis negativ ist. Er bedeutet: „Bilde den Kehrwert.“

Durchgerechnetes Beispiel: einen Ausdruck mit Potenzgesetzen vereinfachen

Vereinfache

$$\frac{(3x^2)^2 \cdot x^3}{9x}$$

Beginne mit der Klammer:

$$(3x^2)^2 = 3^2 (x^2)^2 = 9x^4$$

Jetzt wird der Ausdruck zu

$$\frac{9x^4 \cdot x^3}{9x}$$

Verwende die Produktregel im Zähler:

$$9x^4 \cdot x^3 = 9x^7$$

Damit hast du jetzt

$$\frac{9x^7}{9x} = x^6$$

Dieses eine Beispiel zeigt drei typische Schritte: eine Potenz auf ein Produkt verteilen, bei einer Potenz einer Potenz die Exponenten multiplizieren und beim Dividieren gleicher Basen die Exponenten subtrahieren.

Ein häufiger Fehler: Exponenten verteilen sich nicht über Addition

Potenzgesetze lassen sich nicht auf dieselbe Weise auf Addition verteilen. Im Allgemeinen gilt:

$$(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$$

Zum Beispiel:

$$(2+3)^2 = 25$$

aber

$$2^2 + 3^2 = 13$$

Das ist ein sehr häufiger Fehler. Die Produktregel gilt für Multiplikation, nicht für Addition.

Gebrochene Exponenten brauchen eine Bedingung

Du kannst auch Exponenten wie $a^{1/n}$ sehen. Für positive reelle $a$ gilt:

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$

und allgemeiner:

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$

Das ist nützlich, aber der Definitionsbereich ist wichtig. In der frühen Algebra ist es am sichersten, diese Regel im Bereich der reellen Zahlen für $a > 0$ zu verwenden.

Häufige Fehler bei Potenzgesetzen

1. Exponenten beim Dividieren addieren. Bei $\frac{x^8}{x^3}$ ist das richtige Ergebnis $x^5$ und nicht $x^{11}$.
2. Exponenten zusammenfassen, obwohl die Basen nicht gleich sind. $x^2 \cdot y^2 = (xy)^2$ und nicht $x^4$.
3. Einen negativen Exponenten falsch lesen. $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ und nicht $-x^2$.
4. $a^0 = 1$ verwenden, wenn $a = 0$ ist. Der Ausdruck $0^0$ muss gesondert betrachtet werden und fällt nicht unter die übliche Regel.
5. Exponenten über eine Addition verteilen. Im Allgemeinen vereinfacht sich $(a+b)^n$ nicht zu $a^n+b^n$.

Wo Potenzgesetze verwendet werden

Potenzgesetze kommen in der Algebra, in der wissenschaftlichen Schreibweise, bei Polynomen, in Exponentialgleichungen und bei Logarithmen vor. Sie tauchen später auch in der Analysis auf, wenn Potenzen vor dem Ableiten oder Integrieren umgeschrieben werden müssen.

Probiere deine eigene Variante

Versuche zu vereinfachen:

$$\frac{(2y^3)^2}{4y}$$

Prüfe dann, ob in jedem Schritt wirklich eine Regel verwendet wurde und nicht nur eine Abkürzung. Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, probiere deine eigene Variante im Solver aus und vergleiche, wie sich die Exponenten Zeile für Zeile verändern.