透镜公式（薄透镜）

薄透镜公式告诉你薄透镜所成的像会出现在什么位置：

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

这里，$f$ 是焦距，$d_o$ 是物距，$d_i$ 是像距。在大学物理入门中，当透镜可以视为薄透镜、周围介质通常为空气、并且光线始终靠近主轴传播时，就可以使用这个公式。

如果你的答案看起来很奇怪，通常原因就在于符号约定。公式本身不变，但正负距离分别表示什么，要取决于你所在课程采用的约定。

薄透镜公式：各个符号表示什么

对于空气中的薄透镜和近轴光线，这个公式把物体位置和像的位置联系起来。

• $f$ 是透镜的焦距。
• $d_o$ 是从透镜到物体的距离。
• $d_i$ 是从透镜到像的距离。

在一种常见的入门符号约定中：

• 对于放在透镜前方的实物，$d_o > 0$。
• 对于成在透镜另一侧的实像，$d_i > 0$。
• 对于与物体位于同侧的虚像，$d_i < 0$。
• 会聚透镜取 $f > 0$，发散透镜取 $f < 0$。

如果你的课程使用的是另一套约定，物理本质并没有变化，但符号可能会不同。很多混淆通常就是从这里开始的。

透镜公式在物理上告诉了你什么

薄透镜公式之所以有用，是因为它展示了当物体移动时，像的位置会如何变化。

• 如果会聚透镜前的物体离得很远，像会成在靠近焦平面的位置。
• 如果物体向焦点靠近，像会移得更远。
• 如果物体位于会聚透镜焦距以内，所成的像就是虚像，因此在上面的约定中有 $d_i < 0$。

最后这一种情况也解释了为什么放大镜能形成放大的、正立的虚像。

例题：求像距

假设一个会聚透镜的焦距为 $f = 10\ \mathrm{cm}$，一个物体放在透镜前方 $30\ \mathrm{cm}$ 处。按照上面的符号约定，$f = +10\ \mathrm{cm}$，$d_o = +30\ \mathrm{cm}$。

先写出透镜公式：

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

代入已知数值：

$$\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{d_i}$$

解出 $d_i$：

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$ $$d_i = 15\ \mathrm{cm}$$

所以，像成在透镜另一侧距离透镜 $15\ \mathrm{cm}$ 的位置。由于 $d_i$ 为正，在这种符号约定下它是实像。

如果你还想求像的大小，可以使用放大率：

$$m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{15}{30} = -0.5$$

因此，这个像是倒立的，高度是物体的一半。

薄透镜公式中的常见错误

• 混用了不同教材或老师采用的符号约定。
• 即使是虚像，也把所有像距都当成正值。
• 忘记了薄透镜公式只是近似关系，并不是对所有厚透镜或强曲率透镜系统都严格成立的精确定律。
• 在没有核对所选约定的情况下，把会聚透镜的焦距写成负值，或把发散透镜的焦距写成正值。
• 虽然正确解出了 $d_i$，却误读了符号所表示的实像或虚像含义。

什么时候可以使用透镜公式

这个公式用于基础几何光学中的照相机、放大镜、显微镜、望远镜，以及简单的人眼晶状体模型。当透镜厚度相对于题目中的其他距离足够小，并且光线始终靠近主轴时，它的效果最好。

对于真实的光学系统，透镜厚度效应和像差可能会变得重要。在这种情况下，薄透镜公式仍然是一个有用的模型，但并不能说明全部情况。

试做一道类似的题

你可以用同一个透镜自己试一题，不过把物体移到距离透镜 $8\ \mathrm{cm}$ 的位置。求出 $d_i$，并检查它的符号。如果你得到负的像距，那就说明这个像是虚像而不是实像。