Equazione delle lenti (lente sottile)

L’equazione della lente sottile ti dice dove si forma un’immagine per una lente sottile:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

Qui $f$ è la lunghezza focale, $d_o$ è la distanza dell’oggetto e $d_i$ è la distanza dell’immagine. Nella fisica introduttiva, usi questa equazione quando la lente può essere trattata come sottile, il mezzo circostante è di solito l’aria e i raggi restano vicini all’asse principale.

Se la tua risposta sembra strana, di solito il motivo è la convenzione dei segni. L’equazione in sé resta la stessa, ma il significato di una distanza positiva o negativa dipende dalla convenzione usata nel tuo corso.

Equazione della lente sottile: cosa significa ogni simbolo

Per una lente sottile in aria con raggi paraxiali, l’equazione collega la posizione dell’oggetto alla posizione dell’immagine.

• $f$ è la lunghezza focale della lente.
• $d_o$ è la distanza tra la lente e l’oggetto.
• $d_i$ è la distanza tra la lente e l’immagine.

In una comune convenzione dei segni introduttiva:

• $d_o > 0$ per un oggetto reale posto davanti alla lente.
• $d_i > 0$ per un’immagine reale formata sul lato opposto della lente.
• $d_i < 0$ per un’immagine virtuale sullo stesso lato dell’oggetto.
• $f > 0$ per una lente convergente e $f < 0$ per una lente divergente.

Se il tuo corso usa una convenzione diversa, la fisica è la stessa ma i segni possono cambiare. È proprio qui che di solito inizia la confusione.

Che cosa ti dice fisicamente l’equazione delle lenti

L’equazione della lente sottile è utile perché mostra come cambia la posizione dell’immagine quando l’oggetto si sposta.

• Se una lente convergente ha un oggetto molto lontano, l’immagine si forma vicino al piano focale.
• Se l’oggetto si avvicina al fuoco, l’immagine si allontana.
• Se l’oggetto si trova entro la lunghezza focale di una lente convergente, l’immagine diventa virtuale, quindi $d_i < 0$ nella convenzione sopra.

Quest’ultimo caso spiega perché una lente d’ingrandimento può produrre un’immagine virtuale diritta e ingrandita.

Esempio svolto: trova la distanza dell’immagine

Supponi che una lente convergente abbia lunghezza focale $f = 10\ \mathrm{cm}$ e che un oggetto sia posto a $30\ \mathrm{cm}$ davanti alla lente. Usando la convenzione dei segni sopra, $f = +10\ \mathrm{cm}$ e $d_o = +30\ \mathrm{cm}$.

Parti dall’equazione delle lenti:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

Sostituisci i valori noti:

$$\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{d_i}$$

Risolvi per $d_i$:

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$ $$d_i = 15\ \mathrm{cm}$$

Quindi l’immagine si forma a $15\ \mathrm{cm}$ sul lato opposto della lente. Poiché $d_i$ è positivo, l’immagine è reale in questa convenzione dei segni.

Se vuoi anche la dimensione dell’immagine, usa l’ingrandimento:

$$m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{15}{30} = -0.5$$

Quindi l’immagine è capovolta e alta la metà dell’oggetto.

Errori comuni con la formula della lente sottile

• Mescolare convenzioni dei segni prese da libri di testo o insegnanti diversi.
• Considerare tutte le distanze dell’immagine come positive, anche per immagini virtuali.
• Dimenticare che l’equazione della lente sottile è un’approssimazione, non una legge esatta per ogni lente spessa o sistema di lenti molto curvo.
• Usare la lunghezza focale di una lente convergente come negativa, o quella di una lente divergente come positiva, senza controllare la convenzione scelta.
• Trovare correttamente $d_i$ ma poi interpretare male ciò che il segno dice su immagini reali e virtuali.

Quando puoi usare l’equazione delle lenti

Questa equazione si usa nell’ottica geometrica di base per fotocamere, lenti d’ingrandimento, microscopi, telescopi e modelli semplici dell’occhio. Funziona meglio quando lo spessore della lente è piccolo rispetto alle altre distanze del problema e i raggi restano vicini all’asse principale.

Nei sistemi ottici reali, gli effetti dovuti allo spessore e le aberrazioni possono essere importanti. In quel caso, l’equazione della lente sottile resta comunque un modello utile, ma non racconta tutta la storia.

Prova un problema simile

Prova una tua versione con la stessa lente, ma sposta l’oggetto a $8\ \mathrm{cm}$ dalla lente. Risolvi per $d_i$ e controlla il segno. Se ottieni una distanza dell’immagine negativa, questo indica che l’immagine è virtuale anziché reale.