สมการเลนส์ (เลนส์บาง)

สมการเลนส์บางใช้บอกว่าภาพจะเกิดที่ตำแหน่งใดสำหรับเลนส์บาง:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

โดยที่ $f$ คือความยาวโฟกัส, $d_o$ คือระยะวัตถุ และ $d_i$ คือระยะภาพ ในฟิสิกส์เบื้องต้น คุณจะใช้สมการนี้เมื่อสามารถถือว่าเลนส์เป็นเลนส์บางได้ ตัวกลางรอบเลนส์มักเป็นอากาศ และลำแสงอยู่ใกล้แกนหลัก

ถ้าคำตอบที่ได้ดูแปลก สาเหตุมักมาจากข้อตกลงเรื่องเครื่องหมาย ตัวสมการยังเหมือนเดิม แต่ความหมายของระยะที่เป็นบวกหรือลบจะขึ้นอยู่กับข้อตกลงที่ชั้นเรียนของคุณใช้

สมการเลนส์บาง: สัญลักษณ์แต่ละตัวหมายถึงอะไร

สำหรับเลนส์บางในอากาศที่มีลำแสงพาราเซียล สมการนี้เชื่อมตำแหน่งของวัตถุกับตำแหน่งของภาพ

• $f$ คือความยาวโฟกัสของเลนส์
• $d_o$ คือระยะจากเลนส์ถึงวัตถุ
• $d_i$ คือระยะจากเลนส์ถึงภาพ

ในข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายแบบพื้นฐานที่ใช้กันบ่อย:

• $d_o > 0$ สำหรับวัตถุจริงที่วางอยู่หน้าเลนส์
• $d_i > 0$ สำหรับภาพจริงที่เกิดขึ้นด้านตรงข้ามของเลนส์
• $d_i < 0$ สำหรับภาพเสมือนที่อยู่ด้านเดียวกับวัตถุ
• $f > 0$ สำหรับเลนส์รวมแสง และ $f < 0$ สำหรับเลนส์กระจายแสง

ถ้าชั้นเรียนของคุณใช้ข้อตกลงแบบอื่น ฟิสิกส์ยังเหมือนเดิม แต่เครื่องหมายอาจเปลี่ยนไป ซึ่งมักเป็นจุดเริ่มต้นของความสับสน

สมการเลนส์บอกอะไรในเชิงกายภาพ

สมการเลนส์บางมีประโยชน์เพราะแสดงให้เห็นว่าตำแหน่งภาพเปลี่ยนอย่างไรเมื่อวัตถุเคลื่อนที่

• ถ้าเลนส์รวมแสงมีวัตถุอยู่ไกลมาก ภาพจะเกิดใกล้ระนาบโฟกัส
• ถ้าวัตถุเคลื่อนเข้าใกล้จุดโฟกัส ภาพจะไปเกิดไกลออกไป
• ถ้าวัตถุอยู่ภายในความยาวโฟกัสของเลนส์รวมแสง ภาพจะกลายเป็นภาพเสมือน ดังนั้น $d_i < 0$ ตามข้อตกลงข้างต้น

กรณีสุดท้ายนี่เองที่อธิบายว่าทำไมแว่นขยายจึงทำให้เกิดภาพเสมือนหัวตั้งที่มีขนาดใหญ่ขึ้นได้

ตัวอย่างคำนวณ: หาระยะภาพ

สมมติว่าเลนส์รวมแสงมีความยาวโฟกัส $f = 10\ \mathrm{cm}$ และวัตถุถูกวางไว้ที่ระยะ $30\ \mathrm{cm}$ หน้าเลนส์ ตามข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายข้างต้น จะได้ว่า $f = +10\ \mathrm{cm}$ และ $d_o = +30\ \mathrm{cm}$

เริ่มจากสมการเลนส์:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

แทนค่าที่ทราบ:

$$\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{d_i}$$

แก้หา $d_i$:

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$ $$d_i = 15\ \mathrm{cm}$$

ดังนั้นภาพจะเกิดที่ระยะ $15\ \mathrm{cm}$ ทางด้านหลังของเลนส์ เนื่องจาก $d_i$ เป็นบวก ภาพนี้จึงเป็นภาพจริงตามข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายนี้

ถ้าต้องการหาขนาดของภาพด้วย ให้ใช้อัตราขยาย:

$$m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{15}{30} = -0.5$$

ดังนั้นภาพจึงกลับหัวและมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของวัตถุ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับสูตรเลนส์บาง

• สลับใช้ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายจากหนังสือหรือครูคนละแบบ
• ถือว่าระยะภาพทุกกรณีเป็นบวก แม้ในกรณีภาพเสมือน
• ลืมว่าสมการเลนส์บางเป็นการประมาณ ไม่ใช่กฎที่แม่นยำสำหรับทุกระบบเลนส์หนาหรือเลนส์ที่โค้งมาก
• ใช้ความยาวโฟกัสของเลนส์รวมแสงเป็นลบ หรือของเลนส์กระจายแสงเป็นบวก โดยไม่ตรวจสอบข้อตกลงที่เลือกใช้
• แก้หา $d_i$ ได้ถูกต้อง แต่ตีความเครื่องหมายผิดว่าหมายถึงภาพจริงหรือภาพเสมือน

เมื่อใดที่ใช้สมการเลนส์ได้

สมการนี้ใช้ในทัศนศาสตร์เชิงรังสีพื้นฐานสำหรับกล้องถ่ายรูป แว่นขยาย กล้องจุลทรรศน์ กล้องโทรทรรศน์ และแบบจำลองอย่างง่ายของเลนส์ตา จะใช้ได้ดีที่สุดเมื่อความหนาของเลนส์เล็กเมื่อเทียบกับระยะอื่น ๆ ในโจทย์ และลำแสงอยู่ใกล้แกนหลัก

สำหรับระบบเชิงแสงจริง ผลของความหนาเลนส์และความคลาดอาจมีความสำคัญ ในกรณีนั้น สมการเลนส์บางยังเป็นแบบจำลองที่มีประโยชน์ แต่ไม่ใช่ทั้งหมดของเรื่อง

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำโจทย์ของคุณเองโดยใช้เลนส์ตัวเดิม แต่ย้ายวัตถุมาอยู่ที่ระยะ $8\ \mathrm{cm}$ จากเลนส์ แก้หา $d_i$ และตรวจสอบเครื่องหมาย ถ้าคุณได้ระยะภาพเป็นลบ นั่นคือสัญญาณว่าภาพเป็นภาพเสมือน ไม่ใช่ภาพจริง