Équation des lentilles (lentille mince)

L’équation des lentilles minces indique où se forme une image pour une lentille mince :

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

Ici, $f$ est la distance focale, $d_o$ la distance de l’objet, et $d_i$ la distance de l’image. En physique introductive, on utilise cette équation lorsque la lentille peut être considérée comme mince, que le milieu environnant est généralement l’air, et que les rayons restent proches de l’axe principal.

Si votre réponse semble étrange, la convention de signe en est généralement la cause. L’équation elle-même ne change pas, mais la signification d’une distance positive ou négative dépend de la convention utilisée dans votre cours.

Équation des lentilles minces : signification de chaque symbole

Pour une lentille mince dans l’air avec des rayons paraxiaux, l’équation relie la position de l’objet à la position de l’image.

• $f$ est la distance focale de la lentille.
• $d_o$ est la distance entre la lentille et l’objet.
• $d_i$ est la distance entre la lentille et l’image.

Dans une convention de signe introductive courante :

• $d_o > 0$ pour un objet réel placé devant la lentille.
• $d_i > 0$ pour une image réelle formée de l’autre côté de la lentille.
• $d_i < 0$ pour une image virtuelle du même côté que l’objet.
• $f > 0$ pour une lentille convergente et $f < 0$ pour une lentille divergente.

Si votre cours utilise une convention différente, la physique reste la même mais les signes peuvent changer. C’est généralement là que la confusion commence.

Ce que l’équation des lentilles vous dit physiquement

L’équation des lentilles minces est utile parce qu’elle montre comment la position de l’image change lorsque l’objet se déplace.

• Si une lentille convergente a un objet très éloigné, l’image se forme près du plan focal.
• Si l’objet se rapproche du foyer, l’image s’éloigne davantage.
• Si l’objet se trouve à l’intérieur de la distance focale d’une lentille convergente, l’image devient virtuelle, donc $d_i < 0$ dans la convention ci-dessus.

Ce dernier cas explique pourquoi une loupe peut produire une image virtuelle droite et agrandie.

Exemple résolu : trouver la distance image

Supposons qu’une lentille convergente ait une distance focale $f = 10\ \mathrm{cm}$, et qu’un objet soit placé à $30\ \mathrm{cm}$ devant la lentille. En utilisant la convention de signe ci-dessus, on a $f = +10\ \mathrm{cm}$ et $d_o = +30\ \mathrm{cm}$.

Commencez par l’équation des lentilles :

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

Remplacez par les valeurs connues :

$$\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{d_i}$$

Résolvez pour $d_i$ :

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$ $$d_i = 15\ \mathrm{cm}$$

L’image se forme donc à $15\ \mathrm{cm}$ de l’autre côté de la lentille. Comme $d_i$ est positif, l’image est réelle dans cette convention de signe.

Si vous voulez aussi la taille de l’image, utilisez le grandissement :

$$m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{15}{30} = -0.5$$

L’image est donc renversée et deux fois plus petite que l’objet.

Erreurs fréquentes avec la formule des lentilles minces

• Mélanger des conventions de signe provenant de différents manuels ou enseignants.
• Considérer toutes les distances image comme positives, même pour les images virtuelles.
• Oublier que l’équation des lentilles minces est une approximation, et non une loi exacte pour toute lentille épaisse ou tout système à lentilles fortement courbées.
• Utiliser une distance focale négative pour une lentille convergente, ou positive pour une lentille divergente, sans vérifier la convention choisie.
• Résoudre correctement pour $d_i$, puis mal interpréter ce que le signe indique sur le caractère réel ou virtuel de l’image.

Quand vous pouvez utiliser l’équation des lentilles

Cette équation est utilisée en optique géométrique de base pour les appareils photo, les loupes, les microscopes, les télescopes et les modèles simples de l’œil. Elle fonctionne le mieux lorsque l’épaisseur de la lentille est faible par rapport aux autres distances du problème et que les rayons restent proches de l’axe principal.

Dans les systèmes optiques réels, les effets d’épaisseur et les aberrations peuvent compter. Dans ce cas, l’équation des lentilles minces reste un modèle utile, mais elle ne raconte pas toute l’histoire.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec la même lentille, mais en plaçant l’objet à $8\ \mathrm{cm}$ de la lentille. Résolvez pour $d_i$ et vérifiez le signe. Si vous obtenez une distance image négative, cela indique que l’image est virtuelle plutôt que réelle.