Równanie soczewki (soczewka cienka)

Równanie soczewki cienkiej pozwala określić, gdzie powstaje obraz dla soczewki cienkiej:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

Tutaj $f$ to ogniskowa, $d_o$ to odległość przedmiotu, a $d_i$ to odległość obrazu. W podstawowym kursie fizyki używa się tego równania wtedy, gdy soczewkę można traktować jako cienką, ośrodek otaczający to zwykle powietrze, a promienie biegną blisko osi głównej.

Jeśli wynik wydaje się dziwny, przyczyną jest zwykle konwencja znaków. Samo równanie się nie zmienia, ale znaczenie dodatniej lub ujemnej odległości zależy od konwencji przyjętej na zajęciach.

Równanie soczewki cienkiej: co oznacza każdy symbol

Dla soczewki cienkiej w powietrzu i promieni przyosiowych równanie wiąże położenie przedmiotu z położeniem obrazu.

• $f$ to ogniskowa soczewki.
• $d_o$ to odległość od soczewki do przedmiotu.
• $d_i$ to odległość od soczewki do obrazu.

W jednej z często stosowanych konwencji znaków na poziomie wstępnym:

• $d_o > 0$ dla przedmiotu rzeczywistego umieszczonego przed soczewką.
• $d_i > 0$ dla obrazu rzeczywistego powstającego po przeciwnej stronie soczewki.
• $d_i < 0$ dla obrazu pozornego po tej samej stronie co przedmiot.
• $f > 0$ dla soczewki skupiającej oraz $f < 0$ dla soczewki rozpraszającej.

Jeśli na zajęciach używa się innej konwencji, fizyka pozostaje taka sama, ale znaki mogą się zmienić. To właśnie zwykle jest źródłem nieporozumień.

Co fizycznie mówi równanie soczewki

Równanie soczewki cienkiej jest użyteczne, bo pokazuje, jak zmienia się położenie obrazu, gdy przesuwa się przedmiot.

• Jeśli soczewka skupiająca ma przedmiot bardzo daleko, obraz powstaje blisko płaszczyzny ogniskowej.
• Jeśli przedmiot zbliża się do ogniska, obraz oddala się coraz bardziej.
• Jeśli przedmiot znajduje się bliżej soczewki niż ognisko soczewki skupiającej, obraz staje się pozorny, więc $d_i < 0$ w konwencji podanej wyżej.

Ten ostatni przypadek wyjaśnia, dlaczego szkło powiększające może dawać powiększony, prosty obraz pozorny.

Przykład obliczeniowy: wyznacz odległość obrazu

Załóżmy, że soczewka skupiająca ma ogniskową $f = 10\ \mathrm{cm}$, a przedmiot jest umieszczony $30\ \mathrm{cm}$ przed soczewką. Korzystając z podanej wyżej konwencji znaków, mamy $f = +10\ \mathrm{cm}$ oraz $d_o = +30\ \mathrm{cm}$.

Zaczynamy od równania soczewki:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

Podstawiamy znane wartości:

$$\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{d_i}$$

Rozwiązujemy względem $d_i$:

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$ $$d_i = 15\ \mathrm{cm}$$

Zatem obraz powstaje $15\ \mathrm{cm}$ po drugiej stronie soczewki. Ponieważ $d_i$ jest dodatnie, w tej konwencji znaków obraz jest rzeczywisty.

Jeśli chcesz też wyznaczyć rozmiar obrazu, użyj powiększenia:

$$m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{15}{30} = -0.5$$

To znaczy, że obraz jest odwrócony i ma wysokość równą połowie wysokości przedmiotu.

Typowe błędy przy stosowaniu wzoru soczewki cienkiej

• Mieszanie konwencji znaków z różnych podręczników lub od różnych nauczycieli.
• Traktowanie wszystkich odległości obrazu jako dodatnich, nawet dla obrazów pozornych.
• Zapominanie, że równanie soczewki cienkiej jest przybliżeniem, a nie dokładnym prawem dla każdej grubej lub silnie zakrzywionej soczewki.
• Przyjmowanie ujemnej ogniskowej dla soczewki skupiającej albo dodatniej dla rozpraszającej bez sprawdzenia wybranej konwencji.
• Poprawne obliczenie $d_i$, ale błędna interpretacja znaku pod kątem obrazu rzeczywistego i pozornego.

Kiedy można używać równania soczewki

To równanie stosuje się w podstawowej optyce geometrycznej do aparatów, lup, mikroskopów, teleskopów i prostych modeli soczewki oka. Działa najlepiej wtedy, gdy grubość soczewki jest mała w porównaniu z innymi odległościami w zadaniu, a promienie biegną blisko osi głównej.

W rzeczywistych układach optycznych znaczenie mogą mieć grubość soczewki i aberracje. W takim przypadku równanie soczewki cienkiej nadal jest użytecznym modelem, ale nie opisuje całej sytuacji.

Spróbuj podobnego zadania

Ułóż własną wersję z tą samą soczewką, ale przesuń przedmiot na odległość $8\ \mathrm{cm}$ od soczewki. Oblicz $d_i$ i sprawdź znak wyniku. Jeśli otrzymasz ujemną odległość obrazu, będzie to oznaczać, że obraz jest pozorny, a nie rzeczywisty.