렌즈 방정식(얇은 렌즈)

얇은 렌즈 방정식은 얇은 렌즈에서 상이 어디에 맺히는지를 알려줍니다:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

여기서 $f$는 초점거리, $d_o$는 물체거리, $d_i$는 상거리입니다. 기초 물리에서는 렌즈를 얇다고 볼 수 있고, 주변 매질이 보통 공기이며, 광선이 주축 가까이에서 진행할 때 이 식을 사용합니다.

답이 이상하게 보인다면, 대개 원인은 부호 규약입니다. 식 자체는 같지만, 거리의 양수와 음수가 무엇을 뜻하는지는 수업에서 사용하는 규약에 따라 달라집니다.

얇은 렌즈 방정식: 각 기호의 의미

공기 중에 있는 얇은 렌즈와 근축광선의 경우, 이 식은 물체의 위치와 상의 위치를 연결합니다.

• $f$는 렌즈의 초점거리입니다.
• $d_o$는 렌즈에서 물체까지의 거리입니다.
• $d_i$는 렌즈에서 상까지의 거리입니다.

기초 과정에서 자주 쓰는 한 가지 부호 규약에서는 다음과 같습니다.

• 렌즈 앞에 놓인 실제 물체에 대해 $d_o > 0$
• 렌즈의 반대쪽에 생기는 실제 상에 대해 $d_i > 0$
• 물체와 같은 쪽에 생기는 허상에 대해 $d_i < 0$
• 볼록렌즈는 $f > 0$, 오목렌즈는 $f < 0$

수업에서 다른 규약을 쓴다면 물리는 같지만 부호는 달라질 수 있습니다. 혼동은 보통 여기서 시작됩니다.

렌즈 방정식이 물리적으로 말해 주는 것

얇은 렌즈 방정식이 유용한 이유는 물체가 움직일 때 상의 위치가 어떻게 바뀌는지 보여 주기 때문입니다.

• 볼록렌즈 앞에 물체가 아주 멀리 있으면, 상은 초점면 가까이에 생깁니다.
• 물체가 초점에 가까워질수록, 상은 더 멀리 이동합니다.
• 물체가 볼록렌즈의 초점거리 안쪽에 있으면 상은 허상이 되므로, 위 규약에서는 $d_i < 0$입니다.

이 마지막 경우는 돋보기가 왜 확대된 정립 허상을 만들 수 있는지 설명해 줍니다.

예제: 상거리 구하기

초점거리가 $f = 10\ \mathrm{cm}$인 볼록렌즈가 있고, 물체가 렌즈 앞 $30\ \mathrm{cm}$ 위치에 놓여 있다고 합시다. 위의 부호 규약을 쓰면 $f = +10\ \mathrm{cm}$, $d_o = +30\ \mathrm{cm}$입니다.

먼저 렌즈 방정식을 씁니다:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

알려진 값을 대입하면:

$$\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{d_i}$$

이제 $d_i$를 구하면:

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$ $$d_i = 15\ \mathrm{cm}$$

따라서 상은 렌즈의 반대쪽 $15\ \mathrm{cm}$ 지점에 맺힙니다. $d_i$가 양수이므로, 이 부호 규약에서는 실제 상입니다.

상의 크기도 알고 싶다면 배율을 사용합니다:

$$m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{15}{30} = -0.5$$

따라서 상은 도립이고, 물체 높이의 절반입니다.

얇은 렌즈 공식에서 자주 하는 실수

• 서로 다른 교재나 교사의 부호 규약을 섞어 쓰는 것
• 허상인 경우에도 모든 상거리를 양수로 두는 것
• 얇은 렌즈 방정식이 모든 두꺼운 렌즈나 곡률이 큰 렌즈계에 대해 정확한 법칙이라고 생각하는 것
• 선택한 규약을 확인하지 않고 볼록렌즈의 초점거리를 음수로, 또는 오목렌즈의 초점거리를 양수로 쓰는 것
• $d_i$는 올바르게 구했지만, 그 부호가 실제 상과 허상 중 무엇을 뜻하는지 잘못 해석하는 것

렌즈 방정식을 사용할 수 있는 경우

이 식은 카메라, 돋보기, 현미경, 망원경, 그리고 단순한 눈의 수정체 모델 같은 기초 광선광학에서 사용됩니다. 렌즈 두께가 문제의 다른 거리들에 비해 충분히 작고, 광선이 주축 가까이에서 진행할 때 가장 잘 맞습니다.

실제 광학계에서는 렌즈 두께 효과와 수차가 중요할 수 있습니다. 그런 경우에도 얇은 렌즈 방정식은 여전히 유용한 모델이지만, 전체를 설명해 주는 것은 아닙니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

같은 렌즈를 쓰되, 물체를 렌즈에서 $8\ \mathrm{cm}$ 떨어진 곳으로 옮겨 보세요. $d_i$를 구하고 부호를 확인해 보세요. 상거리가 음수로 나오면, 그것은 상이 실제 상이 아니라 허상이라는 신호입니다.