Linsengleichung (dünne Linse)

Die Linsengleichung für dünne Linsen sagt dir, wo bei einer dünnen Linse ein Bild entsteht:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

Hier ist $f$ die Brennweite, $d_o$ die Gegenstandsweite und $d_i$ die Bildweite. In der einführenden Physik verwendest du diese Gleichung, wenn die Linse als dünn behandelt werden kann, das umgebende Medium meist Luft ist und die Strahlen nahe an der optischen Achse bleiben.

Wenn dein Ergebnis seltsam wirkt, liegt das meist an der Vorzeichenkonvention. Die Gleichung selbst bleibt gleich, aber die Bedeutung einer positiven oder negativen Entfernung hängt von der Konvention ab, die in deinem Kurs verwendet wird.

Linsengleichung für dünne Linsen: Was jedes Symbol bedeutet

Für eine dünne Linse in Luft mit paraxialen Strahlen verknüpft die Gleichung die Gegenstandsposition mit der Bildposition.

• $f$ ist die Brennweite der Linse.
• $d_o$ ist der Abstand von der Linse zum Gegenstand.
• $d_i$ ist der Abstand von der Linse zum Bild.

In einer gängigen Vorzeichenkonvention für Einsteiger gilt:

• $d_o > 0$ für einen reellen Gegenstand vor der Linse.
• $d_i > 0$ für ein reelles Bild, das auf der gegenüberliegenden Seite der Linse entsteht.
• $d_i < 0$ für ein virtuelles Bild auf derselben Seite wie der Gegenstand.
• $f > 0$ für eine Sammellinse und $f < 0$ für eine Zerstreuungslinse.

Wenn dein Kurs eine andere Konvention verwendet, bleibt die Physik gleich, aber die Vorzeichen können sich ändern. Genau dort beginnt meist die Verwirrung.

Was dir die Linsengleichung physikalisch sagt

Die Linsengleichung für dünne Linsen ist nützlich, weil sie zeigt, wie sich die Bildlage ändert, wenn der Gegenstand bewegt wird.

• Bei einer Sammellinse mit weit entferntem Gegenstand entsteht das Bild nahe der Brennebene.
• Bewegt sich der Gegenstand näher an den Brennpunkt, rückt das Bild weiter weg.
• Befindet sich der Gegenstand innerhalb der Brennweite einer Sammellinse, wird das Bild virtuell, also gilt in der obigen Konvention $d_i < 0$.

Dieser letzte Fall erklärt, warum eine Lupe ein vergrößertes, aufrechtes virtuelles Bild erzeugen kann.

Durchgerechnetes Beispiel: Bestimme die Bildweite

Angenommen, eine Sammellinse hat die Brennweite $f = 10\ \mathrm{cm}$, und ein Gegenstand wird $30\ \mathrm{cm}$ vor die Linse gestellt. Mit der obigen Vorzeichenkonvention gilt dann $f = +10\ \mathrm{cm}$ und $d_o = +30\ \mathrm{cm}$.

Beginne mit der Linsengleichung:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

Setze die bekannten Werte ein:

$$\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{d_i}$$

Löse nach $d_i$ auf:

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$ $$d_i = 15\ \mathrm{cm}$$

Das Bild entsteht also $15\ \mathrm{cm}$ auf der Rückseite der Linse. Weil $d_i$ positiv ist, ist das Bild in dieser Vorzeichenkonvention reell.

Wenn du zusätzlich die Bildgröße bestimmen willst, verwende die Vergrößerung:

$$m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{15}{30} = -0.5$$

Das Bild ist also umgekehrt und halb so hoch wie der Gegenstand.

Häufige Fehler bei der Linsengleichung für dünne Linsen

• Vorzeichenkonventionen aus verschiedenen Lehrbüchern oder von verschiedenen Lehrkräften zu vermischen.
• Alle Bildweiten als positiv zu behandeln, selbst bei virtuellen Bildern.
• Zu vergessen, dass die Linsengleichung für dünne Linsen eine Näherung ist und kein exaktes Gesetz für jede dicke oder stark gekrümmte Linsenanordnung.
• Die Brennweite einer Sammellinse als negativ oder die einer Zerstreuungslinse als positiv zu verwenden, ohne die gewählte Konvention zu prüfen.
• $d_i$ korrekt zu berechnen, aber dann falsch zu deuten, was das Vorzeichen über reelle und virtuelle Bilder aussagt.

Wann du die Linsengleichung verwenden kannst

Diese Gleichung wird in der grundlegenden Strahlenoptik für Kameras, Lupen, Mikroskope, Teleskope und einfache Modelle der Augenlinse verwendet. Sie funktioniert am besten, wenn die Linsendicke klein im Vergleich zu den anderen Abständen der Aufgabe ist und die Strahlen nahe an der optischen Achse bleiben.

Bei realen optischen Systemen können Dicken-Effekte und Abbildungsfehler wichtig sein. In diesem Fall ist die Linsengleichung für dünne Linsen immer noch ein nützliches Modell, aber nicht die ganze Geschichte.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche deine eigene Variante mit derselben Linse, aber verschiebe den Gegenstand auf $8\ \mathrm{cm}$ Abstand von der Linse. Berechne $d_i$ und prüfe das Vorzeichen. Wenn du eine negative Bildweite erhältst, ist das das Zeichen dafür, dass das Bild virtuell statt reell ist.