半衰期——放射性衰变公式与例题

半衰期是指放射性样品减少到当前数量一半所需的时间。经过一个半衰期后，剩下一半。经过两个半衰期后，剩下四分之一。经过三个半衰期后，剩下八分之一。

对于通常指数型放射性衰变模型下的单一同位素，剩余量为

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

其中，$N_0$ 是初始量，$N(t)$ 是经过时间 $t$ 后的剩余量，$T_{1/2}$ 是半衰期。这是大多数学生最需要掌握的主要公式。

半衰期在物理中的含义

半衰期并不意味着每个原子都恰好存活相同的时间。它描述的是一大群不稳定原子核的平均行为。

这个区别很重要。对单个原子核来说，放射性衰变是随机的；但对大量样品来说，会呈现稳定的规律。这就是为什么半衰期公式非常适合用于整体衰变计算。

半衰期公式与衰变常数

最实用的形式是

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

当半衰期已知时，就用这个形式。

你也可能看到放射性衰变写成

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

其中 $\lambda$ 是衰变常数。对于同一个指数衰变模型，这两种形式是等价的，并且

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

只有在通常的指数衰变模型下，也就是单一同位素在单位时间内具有恒定衰变概率时，才使用这个关系式。

半衰期例题：15 天后还剩多少？

假设某放射性同位素样品的初始质量为 $240$ mg，半衰期是 $5$ 天。$15$ 天后还剩多少？

先计算经过了几个半衰期：

$$\frac{15}{5} = 3$$

所以样品经历了三次减半：

$$240 \to 120 \to 60 \to 30$$

用公式计算也会得到同样的结果：

$$N(15) = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 30$$

经过 $15$ 天后，还剩 $30$ mg。

这是思考很多半衰期题目最快的方法：先数出经过了几个半衰期，再用连续减半或公式求解。

半衰期的常见错误

把衰变看成线性变化

样品并不是每个时间间隔都减少相同的量，而是每经过一个半衰期减少相同的比例。这就是为什么图像会向下弯曲，而不是一条直线。

用半衰期预测单个原子的衰变时间

半衰期不能告诉你某一个特定原子核何时衰变。它只能描述大量原子核的统计行为。

忽略模型条件

标准半衰期公式假设单一同位素发生指数型放射性衰变。如果题目中还加入了其他生成或损失过程，那么这个简单公式可能就不能单独使用了。

混淆时间单位

如果半衰期用“天”表示，那么公式中的时间也必须用“天”。单位不一致是最常见的计算错误之一。

半衰期的应用场景

半衰期出现在核物理、放射性测年、核医学、环境示踪和辐射安全等领域。在这些场景中，核心问题都是一样的：未衰变物质的数量会随时间多快地减少？

自己试一试

你可以把初始量改成 $480$ mg，半衰期仍然取 $5$ 天；或者保持 $240$ mg 不变，把时间改成 $20$ 天。如果你想获得分步反馈，可以在 GPAI Solver 中尝试你自己的版本。