半減期を簡単にいうと何ですか？

半減期とは、放射性試料の量がその時点の半分になるまでの時間です。これは多数の不安定な原子核の平均的なふるまいを表すもので、1個の原子が崩壊する正確な時刻を示すものではありません。

半減期の公式は何ですか？

1種類の同位体について、通常の指数関数的崩壊モデルでは、残る量は $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ です。

同じ指数関数的崩壊モデルでは、$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ であり、$T_{1/2} = \ln 2 / \lambda$ です。

半減期とは、放射性試料の量がその時点の半分になるまでの時間です。半減期が1回経つと半分が残ります。2回経つと4分の1が残ります。3回経つと8分の1が残ります。

1種類の同位体について、通常の指数関数的な放射性崩壊モデルでは、残る量は

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}

で表されます。ここで、 $N_0$ は初期量、 $N(t)$ は時刻 $t$ の後に残っている量、 $T_{1/2}$ は半減期です。これは多くの学生にとって最も重要な公式です。

半減期は、すべての原子がまったく同じ時間だけ生き残るという意味ではありません。これは、多数の不安定な原子核の平均的なふるまいを表しています。

この違いは重要です。放射性崩壊は1個の原子核についてはランダムですが、大きな試料では安定したパターンが現れます。だからこそ、半減期の公式は全体の崩壊量を計算するのに有効です。

最も実用的な形は

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}

です。

半減期がすでにわかっているときは、この形を使います。

放射性崩壊は次のように書かれることもあります。

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

ここで、 $\lambda$ は崩壊定数です。同じ指数関数的崩壊モデルでは、この2つの形は等価であり、

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}

が成り立ちます。

この関係は、1種類の同位体が単位時間あたり一定の崩壊確率で崩壊する、通常の指数関数的崩壊モデルでのみ使ってください。

ある放射性同位体の試料が最初に $240$ mg あり、その半減期が $5$ 日だとします。 $15$ 日後にはどれだけ残るでしょうか？

まず、半減期が何回分かを数えます。

\frac{15}{5} = 3

したがって、この試料は3回半分になる過程を経ています。

240 \to 120 \to 60 \to 30

公式を使っても同じ結果になります。

N(15) = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 30

$15$ 日後に残るのは $30$ mg です。

多くの半減期の問題では、まず半減期の回数を数え、そのあと繰り返し半分にするか公式を使うのが最も速い考え方です。

試料は各区間で同じ量だけ減るのではありません。半減期ごとに同じ割合だけ減ります。だからグラフは直線ではなく、下に曲がる形になります。

半減期では、特定の1個の原子核がいつ崩壊するかはわかりません。半減期が表すのは、多数の原子核の統計的なふるまいだけです。

標準的な半減期の公式は、1種類の同位体の指数関数的な放射性崩壊を仮定しています。問題に他の生成過程や損失過程が加わると、単純な公式だけでは使えないことがあります。

半減期が日で与えられているなら、公式に入れる時間も日でなければなりません。単位の不一致は、最もよくある計算ミスの1つです。

半減期は、原子核物理、放射年代測定、核医学、環境トレーサー、放射線安全管理などで使われます。どの場合でも、重要な問いは同じです。未崩壊の物質量が時間とともにどれくらいの速さで減るか、ということです。

初期量を $480$ mg、半減期を同じく $5$ 日として同じ設定で試してみましょう。あるいは、 $240$ mg のままで時間を $20$ 日に変えてみてもよいです。手順ごとのフィードバックがほしいなら、GPAI Solver で自分のバージョンを試してみてください。

問題をアップロードすると、検証済みのステップバイステップ解答が数秒で届きます。