Tempo di dimezzamento — Formula del decadimento radioattivo ed esempi

Il tempo di dimezzamento è il tempo necessario perché un campione radioattivo si riduca alla metà della quantità attuale. Se passa un tempo di dimezzamento, ne resta la metà. Se ne passano due, ne resta un quarto. Se ne passano tre, ne resta un ottavo.

Per un isotopo nel consueto modello di decadimento radioattivo esponenziale, la quantità rimanente è

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

dove $N_0$ è la quantità iniziale, $N(t)$ è la quantità rimasta dopo il tempo $t$, e $T_{1/2}$ è il tempo di dimezzamento. Questa è la formula principale di cui la maggior parte degli studenti ha bisogno.

Che cosa significa il tempo di dimezzamento in fisica

Il tempo di dimezzamento non significa che ogni atomo sopravviva esattamente per lo stesso intervallo di tempo. Descrive il comportamento medio di un grande gruppo di nuclei instabili.

Questa distinzione è importante. Il decadimento radioattivo è casuale per un singolo nucleo, ma un campione grande mostra un andamento stabile. Per questo la formula del tempo di dimezzamento funziona bene nei calcoli sul decadimento di massa.

Formula del tempo di dimezzamento e costante di decadimento

La forma più pratica è

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

Usa questa forma quando il tempo di dimezzamento è già noto.

Potresti anche vedere il decadimento radioattivo scritto come

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

dove $\lambda$ è la costante di decadimento. Per lo stesso modello di decadimento esponenziale, le due forme sono equivalenti, e

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

Usa questa relazione solo nel consueto modello di decadimento esponenziale per un singolo isotopo con probabilità di decadimento costante per unità di tempo.

Esempio sul tempo di dimezzamento: quanto resta dopo 15 giorni?

Supponiamo che un campione inizi con $240$ mg di un isotopo radioattivo e che il suo tempo di dimezzamento sia di $5$ giorni. Quanto resta dopo $15$ giorni?

Inizia contando i tempi di dimezzamento:

$$\frac{15}{5} = 3$$

Quindi il campione ha attraversato tre dimezzamenti:

$$240 \to 120 \to 60 \to 30$$

Usando la formula si ottiene lo stesso risultato:

$$N(15) = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 30$$

Dopo $15$ giorni, restano $30$ mg.

Questo è il modo più rapido di ragionare su molte domande sul tempo di dimezzamento: prima conta i tempi di dimezzamento, poi applica i dimezzamenti ripetuti o la formula.

Errori comuni sul tempo di dimezzamento

Trattare il decadimento come lineare

Il campione non perde la stessa quantità a ogni intervallo. Perde la stessa frazione a ogni tempo di dimezzamento. Per questo il grafico si incurva verso il basso invece di formare una linea retta.

Usare il tempo di dimezzamento per prevedere un singolo atomo

Il tempo di dimezzamento non può dirti quando decadrà un particolare nucleo. Descrive solo il comportamento statistico di molti nuclei.

Dimenticare la condizione del modello

La formula standard del tempo di dimezzamento assume un decadimento radioattivo esponenziale per un singolo isotopo. Se un problema aggiunge altri processi di produzione o perdita, la formula semplice potrebbe non essere più applicabile da sola.

Mescolare le unità di tempo

Se il tempo di dimezzamento è espresso in giorni, anche il tempo nella formula deve essere in giorni. Le incongruenze tra unità sono tra gli errori di calcolo più comuni.

Dove si usa il tempo di dimezzamento

Il tempo di dimezzamento compare nella fisica nucleare, nella datazione radiometrica, nella medicina nucleare, nel tracciamento ambientale e nella radioprotezione. In ogni caso, la domanda utile è la stessa: quanto rapidamente diminuisce nel tempo la quantità di materiale non decaduto?

Prova una tua versione

Prova la stessa impostazione con una quantità iniziale di $480$ mg e lo stesso tempo di dimezzamento di $5$ giorni, oppure mantieni $240$ mg e cambia il tempo a $20$ giorni. Se vuoi un feedback passo dopo passo, prova la tua versione in GPAI Solver.