Vida media — fórmula de desintegración radiactiva y ejemplos

La vida media es el tiempo que tarda una muestra radiactiva en reducirse a la mitad de su cantidad actual. Si pasa una vida media, queda la mitad. Si pasan dos, queda una cuarta parte. Si pasan tres, queda una octava parte.

Para un isótopo bajo el modelo usual de desintegración radiactiva exponencial, la cantidad restante es

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

donde $N_0$ es la cantidad inicial, $N(t)$ es la cantidad que queda después del tiempo $t$, y $T_{1/2}$ es la vida media. Esa es la fórmula principal que la mayoría de los estudiantes necesita.

Qué significa la vida media en física

La vida media no significa que todos los átomos sobrevivan exactamente el mismo tiempo. Describe el comportamiento promedio de un grupo grande de núcleos inestables.

Esa distinción importa. La desintegración radiactiva es aleatoria para un solo núcleo, pero una muestra grande muestra un patrón estable. Por eso la fórmula de la vida media funciona bien en cálculos de desintegración de muestras grandes.

Fórmula de la vida media y constante de desintegración

La forma más práctica es

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

Usa esta forma cuando la vida media ya es conocida.

También puedes ver la desintegración radiactiva escrita como

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

donde $\lambda$ es la constante de desintegración. Para el mismo modelo de desintegración exponencial, las dos formas son equivalentes, y

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

Usa esa relación solo en el modelo usual de desintegración exponencial para un solo isótopo con una probabilidad de desintegración constante por unidad de tiempo.

Ejemplo de vida media: ¿cuánto queda después de 15 días?

Supón que una muestra comienza con $240$ mg de un isótopo radiactivo, y su vida media es de $5$ días. ¿Cuánto queda después de $15$ días?

Empieza contando las vidas medias:

$$\frac{15}{5} = 3$$

Así que la muestra ha pasado por tres reducciones a la mitad:

$$240 \to 120 \to 60 \to 30$$

Usando la fórmula se obtiene el mismo resultado:

$$N(15) = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 30$$

Después de $15$ días, quedan $30$ mg.

Esta es la forma más rápida de pensar en muchas preguntas sobre vida media: primero cuenta las vidas medias y luego aplica reducciones sucesivas a la mitad o la fórmula.

Errores comunes con la vida media

Tratar la desintegración como si fuera lineal

La muestra no pierde la misma cantidad en cada intervalo. Pierde la misma fracción en cada vida media. Por eso la gráfica se curva hacia abajo en lugar de formar una línea recta.

Usar la vida media para predecir un solo átomo

La vida media no puede decirte cuándo se desintegrará un núcleo en particular. Solo describe el comportamiento estadístico de muchos núcleos.

Olvidar la condición del modelo

La fórmula estándar de la vida media supone desintegración radiactiva exponencial para un solo isótopo. Si un problema añade otros procesos de producción o pérdida, la fórmula simple puede dejar de aplicarse por sí sola.

Mezclar unidades de tiempo

Si la vida media está en días, el tiempo en la fórmula también debe estar en días. Las inconsistencias de unidades son uno de los errores de cálculo más comunes.

Dónde se usa la vida media

La vida media aparece en física nuclear, datación radiométrica, medicina nuclear, trazado ambiental y seguridad radiológica. En cada caso, la pregunta útil es la misma: ¿con qué rapidez disminuye con el tiempo la cantidad de material que aún no se ha desintegrado?

Prueba tu propia versión

Prueba la misma situación con una cantidad inicial de $480$ mg y la misma vida media de $5$ días, o mantén $240$ mg y cambia el tiempo a $20$ días. Si quieres retroalimentación paso a paso, prueba tu propia versión en GPAI Solver.