Demi-vie — formule de décroissance radioactive et exemples

La demi-vie est le temps nécessaire pour qu’un échantillon radioactif tombe à la moitié de sa quantité actuelle. Si une demi-vie s’écoule, il en reste la moitié. Si deux s’écoulent, il en reste un quart. Si trois s’écoulent, il en reste un huitième.

Pour un isotope dans le modèle habituel de décroissance radioactive exponentielle, la quantité restante est

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

où $N_0$ est la quantité initiale, $N(t)$ est la quantité restante après un temps $t$, et $T_{1/2}$ est la demi-vie. C’est la formule principale dont la plupart des élèves ont besoin.

Ce que signifie la demi-vie en physique

La demi-vie ne signifie pas que chaque atome survit exactement le même temps. Elle décrit le comportement moyen d’un grand groupe de noyaux instables.

Cette distinction est importante. La désintégration radioactive est aléatoire pour un noyau isolé, mais un grand échantillon suit une tendance stable. C’est pourquoi la formule de la demi-vie fonctionne bien pour les calculs de décroissance à grande échelle.

Formule de la demi-vie et constante de décroissance

La forme la plus pratique est

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

Utilisez cette forme lorsque la demi-vie est déjà connue.

Vous pouvez aussi voir la décroissance radioactive écrite sous la forme

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

où $\lambda$ est la constante de décroissance. Pour le même modèle de décroissance exponentielle, les deux formes sont équivalentes, et

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

Utilisez cette relation seulement dans le modèle habituel de décroissance exponentielle pour un isotope unique avec une probabilité de désintégration constante par unité de temps.

Exemple de demi-vie : combien reste-t-il après 15 jours ?

Supposons qu’un échantillon commence avec $240$ mg d’un isotope radioactif et que sa demi-vie soit de $5$ jours. Combien en reste-t-il après $15$ jours ?

Commencez par compter les demi-vies :

$$\frac{15}{5} = 3$$

L’échantillon a donc subi trois divisions par deux :

$$240 \to 120 \to 60 \to 30$$

En utilisant la formule, on obtient le même résultat :

$$N(15) = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 30$$

Après $15$ jours, il reste $30$ mg.

C’est la façon la plus rapide d’aborder beaucoup de questions sur la demi-vie : comptez d’abord les demi-vies, puis appliquez les divisions successives par deux ou la formule.

Erreurs fréquentes sur la demi-vie

Traiter la décroissance comme linéaire

L’échantillon ne perd pas la même quantité à chaque intervalle. Il perd la même fraction à chaque demi-vie. C’est pourquoi la courbe descendante n’est pas une droite.

Utiliser la demi-vie pour prédire un seul atome

La demi-vie ne permet pas de dire quand un noyau particulier va se désintégrer. Elle décrit seulement le comportement statistique d’un grand nombre de noyaux.

Oublier la condition du modèle

La formule standard de la demi-vie suppose une décroissance radioactive exponentielle pour un isotope unique. Si un problème ajoute d’autres processus de production ou de perte, la formule simple peut ne plus s’appliquer à elle seule.

Mélanger les unités de temps

Si la demi-vie est en jours, le temps dans la formule doit aussi être en jours. Les erreurs d’unités font partie des erreurs de calcul les plus fréquentes.

Où la demi-vie est utilisée

La demi-vie apparaît en physique nucléaire, en datation radiométrique, en médecine nucléaire, dans le traçage environnemental et en radioprotection. Dans chaque cas, la question utile est la même : à quelle vitesse la quantité de matière non désintégrée diminue-t-elle au cours du temps ?

Essayez votre propre version

Essayez la même situation avec une quantité initiale de $480$ mg et la même demi-vie de $5$ jours, ou gardez $240$ mg et changez le temps à $20$ jours. Si vous voulez un retour étape par étape, essayez votre propre version dans GPAI Solver.