Halbwertszeit — Formel für radioaktiven Zerfall & Beispiele

Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der eine radioaktive Probe auf die Hälfte ihrer aktuellen Menge sinkt. Nach einer Halbwertszeit bleibt die Hälfte übrig. Nach zwei Halbwertszeiten bleibt ein Viertel übrig. Nach drei Halbwertszeiten bleibt ein Achtel übrig.

Für ein Isotop im üblichen Modell des exponentiellen radioaktiven Zerfalls gilt für die verbleibende Menge

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

wobei $N_0$ die Anfangsmenge ist, $N(t)$ die nach der Zeit $t$ verbleibende Menge und $T_{1/2}$ die Halbwertszeit. Das ist die wichtigste Formel, die die meisten Schülerinnen und Schüler brauchen.

Was die Halbwertszeit in der Physik bedeutet

Halbwertszeit bedeutet nicht, dass jedes Atom genau gleich lange existiert. Sie beschreibt das durchschnittliche Verhalten einer großen Gruppe instabiler Atomkerne.

Dieser Unterschied ist wichtig. Der radioaktive Zerfall eines einzelnen Kerns ist zufällig, aber eine große Probe zeigt ein stabiles Muster. Deshalb funktioniert die Formel für die Halbwertszeit bei Berechnungen für große Stoffmengen so gut.

Formel für die Halbwertszeit und Zerfallskonstante

Die praktischste Form ist

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

Verwende diese Form, wenn die Halbwertszeit bereits bekannt ist.

Du kannst den radioaktiven Zerfall auch in der Form

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

sehen, wobei $\lambda$ die Zerfallskonstante ist. Für dasselbe exponentielle Zerfallsmodell sind beide Formen äquivalent, und es gilt

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

Verwende diese Beziehung nur im üblichen exponentiellen Zerfallsmodell für ein einzelnes Isotop mit konstanter Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit.

Beispiel zur Halbwertszeit: Wie viel bleibt nach 15 Tagen übrig?

Angenommen, eine Probe beginnt mit $240$ mg eines radioaktiven Isotops, und ihre Halbwertszeit beträgt $5$ Tage. Wie viel bleibt nach $15$ Tagen übrig?

Zähle zuerst die Halbwertszeiten:

$$\frac{15}{5} = 3$$

Die Probe hat also drei Halbierungen durchlaufen:

$$240 \to 120 \to 60 \to 30$$

Mit der Formel erhältst du dasselbe Ergebnis:

$$N(15) = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 30$$

Nach $15$ Tagen bleiben $30$ mg übrig.

So denkt man bei vielen Aufgaben zur Halbwertszeit am schnellsten: zuerst die Anzahl der Halbwertszeiten bestimmen, dann wiederholt halbieren oder die Formel anwenden.

Häufige Fehler bei der Halbwertszeit

Zerfall als linear behandeln

Die Probe verliert nicht in jedem Zeitabschnitt dieselbe Menge. Sie verliert in jeder Halbwertszeit denselben Anteil. Deshalb ist der Graph nach unten gekrümmt und keine Gerade.

Die Halbwertszeit zur Vorhersage für ein einzelnes Atom verwenden

Die Halbwertszeit kann nicht sagen, wann ein bestimmter Kern zerfällt. Sie beschreibt nur das statistische Verhalten vieler Kerne.

Die Modellbedingung vergessen

Die Standardformel für die Halbwertszeit setzt exponentiellen radioaktiven Zerfall eines einzelnen Isotops voraus. Wenn eine Aufgabe zusätzliche Bildungs- oder Verlustprozesse enthält, gilt die einfache Formel möglicherweise nicht mehr allein.

Zeiteinheiten vermischen

Wenn die Halbwertszeit in Tagen angegeben ist, muss auch die Zeit in der Formel in Tagen eingesetzt werden. Verwechslungen bei den Einheiten gehören zu den häufigsten Rechenfehlern.

Wo die Halbwertszeit verwendet wird

Die Halbwertszeit spielt eine Rolle in der Kernphysik, der radiometrischen Datierung, der Nuklearmedizin, bei Umwelttracern und im Strahlenschutz. In allen Fällen ist die zentrale Frage dieselbe: Wie schnell nimmt die Menge des noch nicht zerfallenen Materials mit der Zeit ab?

Probiere deine eigene Variante

Probiere dieselbe Aufgabe mit einer Anfangsmenge von $480$ mg und derselben Halbwertszeit von $5$ Tagen aus, oder behalte $240$ mg bei und ändere die Zeit auf $20$ Tage. Wenn du Schritt-für-Schritt-Feedback möchtest, probiere deine eigene Variante im GPAI Solver aus.