Okres półtrwania — wzór na rozpad promieniotwórczy i przykłady

Okres półtrwania to czas, po którym ilość substancji promieniotwórczej spada do połowy swojej bieżącej wartości. Jeśli minie jeden okres półtrwania, pozostaje połowa. Jeśli miną dwa, pozostaje jedna czwarta. Jeśli miną trzy, pozostaje jedna ósma.

Dla jednego izotopu w standardowym modelu wykładniczego rozpadu promieniotwórczego ilość pozostałej substancji wynosi

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

gdzie $N_0$ to ilość początkowa, $N(t)$ to ilość pozostała po czasie $t$, a $T_{1/2}$ to okres półtrwania. To jest główny wzór, którego potrzebuje większość uczniów.

Co oznacza okres półtrwania w fizyce

Okres półtrwania nie oznacza, że każdy atom istnieje dokładnie tyle samo czasu. Opisuje średnie zachowanie dużej grupy nietrwałych jąder.

To rozróżnienie jest ważne. Rozpad promieniotwórczy jest losowy dla pojedynczego jądra, ale duża próbka wykazuje stabilny schemat. Dlatego wzór na okres półtrwania dobrze działa w obliczeniach dotyczących rozpadu całej próbki.

Wzór na okres półtrwania i stała rozpadu

Najbardziej praktyczna postać to

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

Użyj tej postaci, gdy okres półtrwania jest już znany.

Możesz też spotkać zapis rozpadu promieniotwórczego w postaci

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

gdzie $\lambda$ to stała rozpadu. Dla tego samego modelu rozpadu wykładniczego obie postacie są równoważne, a

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

Używaj tej zależności tylko w standardowym modelu rozpadu wykładniczego dla jednego izotopu o stałym prawdopodobieństwie rozpadu w jednostce czasu.

Przykład okresu półtrwania: ile pozostanie po 15 dniach?

Załóżmy, że próbka początkowo zawiera $240$ mg promieniotwórczego izotopu, a jej okres półtrwania wynosi $5$ dni. Ile pozostanie po $15$ dniach?

Zacznij od policzenia liczby okresów półtrwania:

$$\frac{15}{5} = 3$$

Zatem próbka przeszła przez trzy etapy zmniejszenia o połowę:

$$240 \to 120 \to 60 \to 30$$

Zastosowanie wzoru daje ten sam wynik:

$$N(15) = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 30$$

Po $15$ dniach pozostaje $30$ mg.

To najszybszy sposób myślenia o wielu zadaniach z okresem półtrwania: najpierw policz liczbę okresów półtrwania, a potem zastosuj kolejne dzielenie przez 2 albo wzór.

Typowe błędy przy okresie półtrwania

Traktowanie rozpadu jako liniowego

Próbka nie traci tej samej ilości w każdym przedziale czasu. Traci ten sam ułamek w każdym okresie półtrwania. Dlatego wykres opada po krzywej, a nie tworzy linii prostej.

Używanie okresu półtrwania do przewidywania rozpadu jednego atomu

Okres półtrwania nie pozwala przewidzieć, kiedy rozpadnie się jedno konkretne jądro. Opisuje tylko statystyczne zachowanie wielu jąder.

Pomijanie warunku modelu

Standardowy wzór na okres półtrwania zakłada wykładniczy rozpad promieniotwórczy jednego izotopu. Jeśli w zadaniu pojawiają się dodatkowe procesy powstawania lub zaniku, prosty wzór może już samodzielnie nie wystarczyć.

Mieszanie jednostek czasu

Jeśli okres półtrwania podano w dniach, to czas we wzorze także musi być wyrażony w dniach. Niezgodność jednostek to jeden z najczęstszych błędów rachunkowych.

Gdzie stosuje się okres półtrwania

Okres półtrwania pojawia się w fizyce jądrowej, datowaniu radiometrycznym, medycynie nuklearnej, śledzeniu zanieczyszczeń w środowisku i ochronie radiologicznej. W każdym przypadku pytanie jest takie samo: jak szybko z czasem maleje ilość nierozpadniętego materiału?

Spróbuj własnej wersji

Spróbuj tego samego układu z początkową ilością $480$ mg i tym samym okresem półtrwania wynoszącym $5$ dni albo pozostaw $240$ mg i zmień czas na $20$ dni. Jeśli chcesz otrzymać informację zwrotną krok po kroku, wypróbuj własną wersję w GPAI Solver.