ครึ่งชีวิต — สูตรการสลายกัมมันตรังสีและตัวอย่าง

ครึ่งชีวิตคือเวลาที่สารกัมมันตรังสีในตัวอย่างลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของปริมาณปัจจุบัน ถ้าผ่านไปหนึ่งครึ่งชีวิต จะเหลือครึ่งหนึ่ง ถ้าผ่านไปสองครึ่งชีวิต จะเหลือหนึ่งในสี่ ถ้าผ่านไปสามครึ่งชีวิต จะเหลือหนึ่งในแปด

สำหรับไอโซโทปเดียวภายใต้แบบจำลองการสลายกัมมันตรังสีแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลตามปกติ ปริมาณที่เหลือคือ

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

โดยที่ $N_0$ คือปริมาณเริ่มต้น, $N(t)$ คือปริมาณที่เหลือหลังเวลาผ่านไป $t$, และ $T_{1/2}$ คือครึ่งชีวิต นี่คือสูตรหลักที่นักเรียนส่วนใหญ่ต้องใช้

ครึ่งชีวิตมีความหมายอย่างไรในฟิสิกส์

ครึ่งชีวิตไม่ได้หมายความว่าอะตอมทุกอะตอมจะอยู่ได้นานเท่ากันพอดี มันใช้อธิบายพฤติกรรมเฉลี่ยของนิวเคลียสไม่เสถียรจำนวนมาก

ความแตกต่างนี้สำคัญ การสลายกัมมันตรังสีเป็นกระบวนการสุ่มสำหรับนิวเคลียสหนึ่งตัว แต่เมื่อดูตัวอย่างขนาดใหญ่จะเห็นรูปแบบที่คงที่ นั่นจึงเป็นเหตุผลที่สูตรครึ่งชีวิตใช้ได้ดีในการคำนวณการสลายของสารจำนวนมาก

สูตรครึ่งชีวิตและค่าคงที่การสลาย

รูปแบบที่ใช้งานได้สะดวกที่สุดคือ

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

ใช้รูปแบบนี้เมื่อทราบค่าครึ่งชีวิตอยู่แล้ว

คุณอาจเห็นการสลายกัมมันตรังสีเขียนเป็น

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

โดยที่ $\lambda$ คือค่าคงที่การสลาย สำหรับแบบจำลองการสลายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเดียวกัน ทั้งสองรูปแบบสมมูลกัน และมีความสัมพันธ์ว่า

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

ใช้ความสัมพันธ์นี้ได้เฉพาะในแบบจำลองการสลายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลตามปกติสำหรับไอโซโทปเดียว ที่มีความน่าจะเป็นในการสลายต่อหน่วยเวลาคงที่

ตัวอย่างครึ่งชีวิต: หลัง 15 วันจะเหลือเท่าไร?

สมมติว่าตัวอย่างเริ่มต้นมีไอโซโทปกัมมันตรังสี $240$ mg และมีครึ่งชีวิต $5$ วัน หลังจาก $15$ วันจะเหลือเท่าไร?

เริ่มจากนับจำนวนครึ่งชีวิต:

$$\frac{15}{5} = 3$$

ดังนั้นตัวอย่างนี้ผ่านการลดลงครึ่งหนึ่งมาแล้วสามครั้ง:

$$240 \to 120 \to 60 \to 30$$

ใช้สูตรก็จะได้ผลเหมือนกัน:

$$N(15) = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 30$$

หลังจาก $15$ วัน จะเหลือ $30$ mg

นี่คือวิธีคิดที่เร็วที่สุดสำหรับโจทย์ครึ่งชีวิตหลายข้อ: นับจำนวนครึ่งชีวิตก่อน แล้วค่อยใช้การหารครึ่งซ้ำ ๆ หรือใช้สูตร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับครึ่งชีวิต

คิดว่าการสลายเป็นแบบเชิงเส้น

ตัวอย่างไม่ได้สูญเสียปริมาณเท่ากันในแต่ละช่วงเวลา แต่มันสูญเสียสัดส่วนเท่ากันในแต่ละครึ่งชีวิต นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมกราฟจึงโค้งลงแทนที่จะเป็นเส้นตรง

ใช้ครึ่งชีวิตเพื่อทำนายอะตอมหนึ่งอะตอม

ครึ่งชีวิตไม่สามารถบอกได้ว่านิวเคลียสตัวใดตัวหนึ่งจะสลายเมื่อไร มันอธิบายได้เพียงพฤติกรรมเชิงสถิติของนิวเคลียสจำนวนมากเท่านั้น

ลืมเงื่อนไขของแบบจำลอง

สูตรครึ่งชีวิตมาตรฐานตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าเป็นการสลายกัมมันตรังสีแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลของไอโซโทปเดียว ถ้าโจทย์มีการเกิดเพิ่มหรือการสูญเสียจากกระบวนการอื่นร่วมด้วย สูตรอย่างง่ายนี้อาจใช้ไม่ได้โดยลำพังอีกต่อไป

ใช้หน่วยเวลาไม่ตรงกัน

ถ้าครึ่งชีวิตมีหน่วยเป็นวัน เวลาในสูตรก็ต้องเป็นวันเช่นกัน การใช้หน่วยไม่ตรงกันเป็นหนึ่งในข้อผิดพลาดในการคำนวณที่พบบ่อยที่สุด

ครึ่งชีวิตถูกใช้ที่ไหนบ้าง

ครึ่งชีวิตพบได้ในฟิสิกส์นิวเคลียร์ การหาอายุด้วยกัมมันตรังสี เวชศาสตร์นิวเคลียร์ การติดตามสารในสิ่งแวดล้อม และความปลอดภัยทางรังสี ในทุกกรณี คำถามสำคัญเหมือนกันคือ ปริมาณของสารที่ยังไม่สลายลดลงตามเวลาเร็วแค่ไหน?

ลองทำเวอร์ชันของคุณเอง

ลองใช้โจทย์แบบเดียวกันแต่เปลี่ยนปริมาณเริ่มต้นเป็น $480$ mg และใช้ครึ่งชีวิต $5$ วันเท่าเดิม หรือคงไว้ที่ $240$ mg แต่เปลี่ยนเวลาเป็น $20$ วัน ถ้าคุณต้องการคำแนะนำทีละขั้น ลองทำเวอร์ชันของคุณเองใน GPAI Solver