Chu kỳ bán rã — Công thức phân rã phóng xạ & Ví dụ

Chu kỳ bán rã là khoảng thời gian để một mẫu phóng xạ giảm xuống còn một nửa lượng hiện tại của nó. Nếu trôi qua một chu kỳ bán rã, còn lại một nửa. Nếu trôi qua hai chu kỳ, còn lại một phần tư. Nếu trôi qua ba chu kỳ, còn lại một phần tám.

Với một đồng vị trong mô hình phân rã phóng xạ theo hàm mũ thông thường, lượng còn lại là

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

trong đó $N_0$ là lượng ban đầu, $N(t)$ là lượng còn lại sau thời gian $t$, và $T_{1/2}$ là chu kỳ bán rã. Đây là công thức chính mà đa số học sinh cần dùng.

Chu Kỳ Bán Rã Có Ý Nghĩa Gì Trong Vật Lý

Chu kỳ bán rã không có nghĩa là mọi nguyên tử đều tồn tại đúng cùng một khoảng thời gian. Nó mô tả hành vi trung bình của một nhóm lớn các hạt nhân không bền.

Sự khác biệt này rất quan trọng. Phân rã phóng xạ là ngẫu nhiên đối với một hạt nhân riêng lẻ, nhưng một mẫu lớn lại cho thấy một quy luật ổn định. Đó là lý do công thức chu kỳ bán rã hoạt động tốt trong các phép tính phân rã của cả mẫu.

Công Thức Chu Kỳ Bán Rã Và Hằng Số Phân Rã

Dạng thực tế nhất là

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

Dùng dạng này khi đã biết chu kỳ bán rã.

Bạn cũng có thể thấy phân rã phóng xạ được viết là

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

trong đó $\lambda$ là hằng số phân rã. Với cùng mô hình phân rã mũ, hai dạng này là tương đương, và

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

Chỉ dùng mối liên hệ đó trong mô hình phân rã mũ thông thường cho một đồng vị duy nhất có xác suất phân rã không đổi theo mỗi đơn vị thời gian.

Ví Dụ Về Chu Kỳ Bán Rã: Sau 15 Ngày Còn Lại Bao Nhiêu?

Giả sử một mẫu ban đầu có $240$ mg của một đồng vị phóng xạ, và chu kỳ bán rã của nó là $5$ ngày. Sau $15$ ngày còn lại bao nhiêu?

Bắt đầu bằng cách đếm số chu kỳ bán rã:

$$\frac{15}{5} = 3$$

Vậy mẫu đã trải qua ba lần giảm một nửa:

$$240 \to 120 \to 60 \to 30$$

Dùng công thức cũng cho cùng kết quả:

$$N(15) = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 240 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 30$$

Sau $15$ ngày, còn lại $30$ mg.

Đây là cách nhanh nhất để nghĩ về nhiều bài toán chu kỳ bán rã: trước tiên đếm số chu kỳ bán rã, rồi áp dụng việc giảm một nửa lặp lại hoặc dùng công thức.

Những Lỗi Thường Gặp Về Chu Kỳ Bán Rã

Xem Phân Rã Là Tuyến Tính

Mẫu không mất đi cùng một lượng trong mỗi khoảng thời gian. Nó mất đi cùng một tỉ phần trong mỗi chu kỳ bán rã. Vì vậy đồ thị cong đi xuống thay vì là một đường thẳng.

Dùng Chu Kỳ Bán Rã Để Dự Đoán Một Nguyên Tử

Chu kỳ bán rã không thể cho biết khi nào một hạt nhân cụ thể sẽ phân rã. Nó chỉ mô tả hành vi thống kê của nhiều hạt nhân.

Quên Điều Kiện Của Mô Hình

Công thức chu kỳ bán rã chuẩn giả sử phân rã phóng xạ theo hàm mũ của một đồng vị. Nếu bài toán thêm các quá trình tạo ra hoặc mất đi khác, công thức đơn giản này có thể không còn tự áp dụng được nữa.

Trộn Lẫn Đơn Vị Thời Gian

Nếu chu kỳ bán rã tính bằng ngày, thì thời gian trong công thức cũng phải tính bằng ngày. Sai khác đơn vị là một trong những lỗi tính toán phổ biến nhất.

Chu Kỳ Bán Rã Được Dùng Ở Đâu

Chu kỳ bán rã xuất hiện trong vật lý hạt nhân, định tuổi phóng xạ, y học hạt nhân, truy vết môi trường và an toàn bức xạ. Trong mỗi trường hợp, câu hỏi hữu ích đều giống nhau: lượng vật chất chưa phân rã giảm theo thời gian nhanh đến mức nào?

Hãy Thử Phiên Bản Của Riêng Bạn

Hãy thử cùng cách thiết lập đó với lượng ban đầu là $480$ mg và cùng chu kỳ bán rã $5$ ngày, hoặc giữ $240$ mg và đổi thời gian thành $20$ ngày. Nếu muốn được phản hồi từng bước, hãy thử phiên bản của riêng bạn trong GPAI Solver.