二次函数图像——顶点、对称轴与作图

二次函数图像就是由形如

$$y = ax^2 + bx + c$$

且满足 $a \ne 0$ 的函数得到的抛物线。要快速作图，可以先根据 $a$ 判断开口方向，再找出对称轴、顶点，以及几个容易确定的点，比如截距。

如果你只记住一个结构性质，那就是：图像关于经过顶点的一条竖直直线对称。

如何求顶点和对称轴

顶点是抛物线的转折点。图像开口向上时，顶点是最低点；图像开口向下时，顶点是最高点。

对称轴就是经过这个顶点的竖直直线。对于

$$y = ax^2 + bx + c$$

它的对称轴是

$$x = -\frac{b}{2a}$$

这个公式只适用于真正的二次函数，因此必须有 $a \ne 0$。

知道对称轴后，把这个 $x$ 值代入函数，就能求出顶点的 $y$ 坐标。

系数如何改变图像

$a$ 的正负决定开口方向。

• 如果 $a > 0$，抛物线开口向上，所以顶点是最小值点。
• 如果 $a < 0$，抛物线开口向下，所以顶点是最大值点。

$|a|$ 的大小会影响图像的宽窄。与 $y = x^2$ 相比，$|a|$ 越大，图像越窄；正的 $|a|$ 越小，图像越宽。

常数项 $c$ 给出 $y$ 轴截距，因为当 $x=0$ 时，

$$y = c$$

所以立刻可以得到一个点：$(0,c)$。

例题：作出 $y = x^2 - 4x + 3$ 的图像

从

$$y = x^2 - 4x + 3$$

开始。

这里，$a=1$，$b=-4$，$c=3$，所以图像开口向上。

先求对称轴：

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$

再把 $x=2$ 代入函数，求顶点：

$$y = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

所以顶点是 $(2,-1)$。因为抛物线开口向上，所以它是最小值点。

接着求截距。$y$ 轴截距可以直接得到：

$$y = 3 \quad \text{when } x=0$$

所以有一个点是 $(0,3)$。

对于 $x$ 轴截距，令 $y=0$，解方程

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

因式分解：

$$(x-1)(x-3)=0$$

所以图像与 $x$ 轴交于

$$(1,0) \text{ and } (3,0)$$

这样就已经足够画出一个可靠的草图：

• 顶点在 $(2,-1)$
• 对称轴是 $x=2$
• 开口向上
• 与 $x$ 轴交于 $(1,0)$ 和 $(3,0)$
• 与 $y$ 轴交于 $(0,3)$

注意它的对称性：点 $(1,0)$ 和 $(3,0)$ 到直线 $x=2$ 的距离相同。

快速画二次函数图像的方法

当你需要快速作图时，可以按这个顺序来：

1. 先看 $a$ 的符号，判断抛物线是开口向上还是向下。
2. 用 $x=-\frac{b}{2a}$ 求对称轴。
3. 把这个 $x$ 值代入函数，求出顶点。
4. 标出 $y$ 轴截距 $(0,c)$。
5. 如果存在实数 $x$ 轴截距，就把它们也画出来；如果没有，就再取一个点，并关于对称轴作对称点。

即使你没有把函数写成顶点式，这通常也足够完成手绘草图。

画二次函数图像时的常见错误

把顶点和截距混淆

顶点通常不是图像与坐标轴的交点。它是转折点。抛物线的顶点可能在 $x$ 轴上方、下方，或者恰好在 $x$ 轴上。

忘记 $a \ne 0$

如果 $a=0$，这个函数就不是二次函数，因此没有抛物线，二次函数的对称轴公式也不适用。

在 $x = -\frac{b}{2a}$ 中漏掉负号

很多作图错误都源于对称轴算错，而原因就是漏掉了负号。比如，如果 $b=-4$，那么 $-b=4$，不是 $-4$。

以为每个二次函数都有两个实数 $x$ 轴截距

有些二次函数有两个实数截距，有些只有一个，还有些一个也没有。这取决于图像是否与 $x$ 轴相交。

二次函数图像出现在哪里

二次函数图像在代数中经常出现，因为它把方程、根和图像形状联系在同一幅图里。它也常出现在最优化问题中，因为顶点能告诉你最大值或最小值。

在物理中，二次模型也会出现在一些常见的理想化情形里，比如抛体运动，前提是模型的假设成立。

试试类似的问题

作出 $y = -x^2 + 6x - 5$ 的图像。先求对称轴、顶点和截距，再画出曲线。如果你想再进一步，可以把它改写成顶点式，并检查两种方法得到的转折点是否相同。