二次関数のグラフ — 頂点・対称の軸・作図

二次関数のグラフとは、次の形の関数から得られる放物線のことです。

$$y = ax^2 + bx + c$$

ただし $a \ne 0$ です。手早く作図するには、$a$ から開く向きを読み取り、対称の軸、頂点、そして切片のような求めやすい点をいくつか見つけます。

1つだけ大事な構造を覚えるなら、グラフは頂点を通る縦の直線に関して対称だということです。

頂点と対称の軸の求め方

頂点は放物線の折り返しの点です。グラフが上に開くときは最も低い点、下に開くときは最も高い点になります。

対称の軸は、その頂点を通る縦の直線です。次の形の関数

$$y = ax^2 + bx + c$$

に対して、軸は

$$x = -\frac{b}{2a}$$

です。

この公式が使えるのは、関数が実際に二次関数である場合だけなので、$a \ne 0$ でなければなりません。

軸がわかったら、その $x$ の値を関数に代入して、頂点の $y$ 座標を求めます。

係数によってグラフはどう変わるか

$a$ の符号は、グラフの開く向きを決めます。

• $a > 0$ なら、放物線は上に開くので、頂点は最小値をとる点です。
• $a < 0$ なら、放物線は下に開くので、頂点は最大値をとる点です。

$|a|$ の大きさは、グラフの幅に影響します。$y = x^2$ と比べると、$|a|$ が大きいほどグラフは細くなり、正の $|a|$ が小さいほど広くなります。

定数項 $c$ は $y$切片を表します。なぜなら $x=0$ のとき、

$$y = c$$

だからです。

したがって、すぐに $(0,c)$ という1点がわかります。

例題：$y = x^2 - 4x + 3$ を作図する

まず

$$y = x^2 - 4x + 3$$

を見ます。

ここで $a=1$, $b=-4$, $c=3$ なので、グラフは上に開きます。

まず対称の軸を求めます。

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$

次に、$x=2$ を関数に代入して頂点を求めます。

$$y = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

したがって頂点は $(2,-1)$ です。放物線は上に開くので、ここが最小の点になります。

次に切片を求めます。$y$切片はすぐにわかります。

$$y = 3 \quad \text{when } x=0$$

したがって、1点は $(0,3)$ です。

$x$切片を求めるには、$y=0$ として

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

を解きます。

因数分解すると、

$$(x-1)(x-3)=0$$

となります。

よって、グラフは $x$ 軸と

$$(1,0) \text{ and } (3,0)$$

で交わります。

ここまでで、十分に確かな概形が描けます。

• 頂点は $(2,-1)$
• 対称の軸は $x=2$
• 上に開く
• $x$ 軸とは $(1,0)$ と $(3,0)$ で交わる
• $y$ 軸とは $(0,3)$ で交わる

対称性にも注目してください。点 $(1,0)$ と $(3,0)$ は、直線 $x=2$ から同じ距離にあります。

二次関数のグラフを手早く作図する方法

素早くグラフを描きたいときは、次の順番で進めます。

1. $a$ の符号を見て、放物線が上に開くか下に開くかを判断する。
2. $x=-\frac{b}{2a}$ を使って対称の軸を求める。
3. その $x$ の値を関数に代入して頂点を求める。
4. $(0,c)$ にある $y$切片を打つ。
5. 実数の $x$切片があれば求め、なければ別の点を1つ打って軸に関して対称な点をとる。

頂点形式に直さなくても、手描きの概形なら通常これで十分です。

二次関数のグラフを作図するときによくある間違い

頂点と切片を混同する

頂点は、一般にはグラフが軸と交わる点ではありません。頂点は折り返しの点です。放物線の頂点は、$x$ 軸の上にあることも、下にあることも、ちょうどその上にあることもあります。

$a \ne 0$ を忘れる

$a=0$ なら、その関数は二次関数ではありません。したがって放物線にはならず、二次関数の軸の公式も使えません。

$x = -\frac{b}{2a}$ のマイナスを落とす

作図のミスの多くは、軸を間違えることから始まります。原因はマイナス符号の見落としです。たとえば $b=-4$ なら、$-b=4$ であって $-4$ ではありません。

すべての二次関数に実数の $x$切片が2つあると思い込む

二次関数には、実数の切片が2つあるものも、1つのものも、まったくないものもあります。これはグラフが $x$ 軸に届くかどうかによります。

二次関数のグラフはどこで出てくるか

二次関数のグラフは、方程式、解、グラフの形を1つの図で結びつけられるため、代数でよく現れます。また、頂点が最大値や最小値を与えるので、最適化の問題にもよく出てきます。

物理でも、モデルの仮定が成り立つなら、放物運動のような典型的な理想化された状況で二次式のモデルが現れます。

類題に挑戦

$y = -x^2 + 6x - 5$ を作図してみましょう。曲線を描く前に、対称の軸、頂点、切片を求めてください。さらに一歩進めるなら、頂点形式に書き直して、どちらの方法でも同じ頂点になることを確かめてみましょう。