Wykresy funkcji kwadratowej — wierzchołek, oś symetrii i szkicowanie

Wykres funkcji kwadratowej to parabola otrzymywana z funkcji postaci

$$y = ax^2 + bx + c$$

przy $a \ne 0$. Aby szybko go naszkicować, wyznacz kierunek ramion na podstawie $a$, oś symetrii, wierzchołek oraz kilka łatwych punktów, takich jak punkty przecięcia z osiami.

Jeśli masz zapamiętać jedną ważną własność, niech będzie to ta: wykres jest symetryczny względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek.

Jak znaleźć wierzchołek i oś symetrii

Wierzchołek to punkt zwrotny paraboli. Jest to punkt najniższy, jeśli wykres jest skierowany ramionami w górę, i najwyższy, jeśli jest skierowany ramionami w dół.

Oś symetrii to pionowa prosta przechodząca przez ten wierzchołek. Dla

$$y = ax^2 + bx + c$$

oś ma postać

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Ten wzór ma zastosowanie tylko wtedy, gdy funkcja jest rzeczywiście kwadratowa, czyli gdy $a \ne 0$.

Gdy znasz już oś, podstaw tę wartość $x$ do funkcji, aby otrzymać współrzędną $y$ wierzchołka.

Jak współczynniki zmieniają wykres

Znak współczynnika $a$ decyduje o kierunku ramion.

• Jeśli $a > 0$, parabola jest skierowana ramionami w górę, więc wierzchołek jest minimum.
• Jeśli $a < 0$, parabola jest skierowana ramionami w dół, więc wierzchołek jest maksimum.

Wartość $|a|$ wpływa na szerokość. W porównaniu z $y = x^2$, większe $|a|$ sprawia, że wykres jest węższy, a mniejsze dodatnie $|a|$ — że jest szerszy.

Wyraz wolny $c$ wyznacza punkt przecięcia z osią $y$, ponieważ gdy $x=0$,

$$y = c$$

Od razu dostajemy więc jeden punkt: $(0,c)$.

Przykład: naszkicuj $y = x^2 - 4x + 3$

Zacznij od

$$y = x^2 - 4x + 3$$

Tutaj $a=1$, $b=-4$ i $c=3$, więc wykres jest skierowany ramionami w górę.

Najpierw wyznacz oś symetrii:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$

Teraz znajdź wierzchołek, podstawiając $x=2$ do funkcji:

$$y = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

Zatem wierzchołek to $(2,-1)$, a ponieważ parabola jest skierowana ramionami w górę, jest to punkt minimalny.

Następnie znajdź punkty przecięcia z osiami. Punkt przecięcia z osią $y$ otrzymujemy od razu:

$$y = 3 \quad \text{gdy } x=0$$

więc jednym punktem jest $(0,3)$.

Aby znaleźć punkty przecięcia z osią $x$, przyjmij $y=0$ i rozwiąż równanie

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

Rozłóż na czynniki:

$$(x-1)(x-3)=0$$

Zatem wykres przecina oś $x$ w punktach

$$(1,0) \text{ i } (3,0)$$

To już wystarcza do wykonania wiarygodnego szkicu:

• Wierzchołek w $(2,-1)$
• Oś symetrii $x=2$
• Ramiona skierowane w górę
• Przecięcie z osią $x$ w $(1,0)$ i $(3,0)$
• Przecięcie z osią $y$ w $(0,3)$

Zauważ symetrię: punkty $(1,0)$ i $(3,0)$ leżą w tej samej odległości od prostej $x=2$.

Szybki sposób na szkic wykresu funkcji kwadratowej

Gdy potrzebujesz szybkiego wykresu, stosuj tę kolejność:

1. Odczytaj znak $a$, aby sprawdzić, czy parabola jest skierowana ramionami w górę czy w dół.
2. Oblicz oś symetrii ze wzoru $x=-\frac{b}{2a}$.
3. Znajdź wierzchołek, podstawiając tę wartość $x$ do funkcji.
4. Zaznacz punkt przecięcia z osią $y$ w $(0,c)$.
5. Znajdź rzeczywiste punkty przecięcia z osią $x$, jeśli istnieją, albo zaznacz jeden dodatkowy punkt i odbij go względem osi.

To zwykle wystarcza do szkicu odręcznego, nawet jeśli nie zapisujesz funkcji w postaci kanonicznej.

Najczęstsze błędy przy szkicowaniu wykresów funkcji kwadratowej

Mylenie wierzchołka z punktem przecięcia

Wierzchołek na ogół nie jest miejscem, w którym wykres przecina którąś z osi. To punkt zwrotny. Parabola może mieć wierzchołek nad osią $x$, pod osią $x$ albo na niej.

Zapominanie, że $a \ne 0$

Jeśli $a=0$, funkcja nie jest kwadratowa, więc nie ma paraboli i wzór na oś symetrii dla funkcji kwadratowej nie ma zastosowania.

Pomijanie znaku minus we wzorze $x = -\frac{b}{2a}$

Wiele błędów w szkicowaniu zaczyna się od źle wyznaczonej osi, bo pominięto znak minus. Na przykład jeśli $b=-4$, to $-b=4$, a nie $-4$.

Zakładanie, że każda funkcja kwadratowa ma dwa rzeczywiste punkty przecięcia z osią $x$

Niektóre funkcje kwadratowe mają dwa rzeczywiste punkty przecięcia, niektóre jeden, a niektóre żadnego. Zależy to od tego, czy wykres osiąga oś $x$.

Gdzie pojawiają się wykresy funkcji kwadratowej

Wykresy funkcji kwadratowej często pojawiają się w algebrze, ponieważ łączą równania, pierwiastki i kształt wykresu w jednym obrazie. Występują też w zadaniach optymalizacyjnych, gdzie wierzchołek wskazuje wartość maksymalną lub minimalną.

W fizyce model kwadratowy pojawia się również w typowych wyidealizowanych sytuacjach, takich jak ruch pocisku, o ile założenia modelu są spełnione.

Spróbuj podobnego zadania

Naszkicuj $y = -x^2 + 6x - 5$. Znajdź oś symetrii, wierzchołek i punkty przecięcia z osiami, zanim narysujesz krzywą. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, zapisz tę funkcję w postaci kanonicznej i sprawdź, czy obie metody dają ten sam punkt zwrotny.