Grafik Kuadrat — Titik Puncak, Sumbu Simetri & Sketsa

Grafik kuadrat adalah parabola yang diperoleh dari fungsi berbentuk

$$y = ax^2 + bx + c$$

dengan $a \ne 0$. Untuk membuat sketsanya dengan cepat, tentukan arah buka dari $a$, sumbu simetri, titik puncak, dan beberapa titik mudah seperti titik potong.

Jika Anda hanya mengingat satu fakta struktur, ingat ini: grafik simetris terhadap garis vertikal yang melalui titik puncak.

Cara Menentukan Titik Puncak dan Sumbu Simetri

Titik puncak adalah titik balik parabola. Ini adalah titik terendah jika grafik terbuka ke atas dan titik tertinggi jika grafik terbuka ke bawah.

Sumbu simetri adalah garis vertikal yang melalui titik puncak tersebut. Untuk

$$y = ax^2 + bx + c$$

sumbunya adalah

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Rumus ini hanya berlaku jika fungsinya benar-benar kuadrat, jadi $a \ne 0$.

Setelah mengetahui sumbu simetri, substitusikan nilai $x$ tersebut ke dalam fungsi untuk mendapatkan koordinat $y$ dari titik puncak.

Bagaimana Koefisien Mengubah Grafik

Tanda dari $a$ menentukan arah buka.

• Jika $a > 0$, parabola terbuka ke atas, sehingga titik puncak adalah nilai minimum.
• Jika $a < 0$, parabola terbuka ke bawah, sehingga titik puncak adalah nilai maksimum.

Besar $|a|$ memengaruhi lebar grafik. Dibandingkan dengan $y = x^2$, nilai $|a|$ yang lebih besar membuat grafik lebih sempit, sedangkan nilai $|a|$ positif yang lebih kecil membuatnya lebih lebar.

Konstanta $c$ memberikan titik potong sumbu-$y$ karena saat $x=0$,

$$y = c$$

Itu langsung memberi satu titik: $(0,c)$.

Contoh Soal: Sketsa $y = x^2 - 4x + 3$

Mulai dari

$$y = x^2 - 4x + 3$$

Di sini, $a=1$, $b=-4$, dan $c=3$, jadi grafik terbuka ke atas.

Pertama, cari sumbu simetri:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$

Sekarang cari titik puncak dengan mensubstitusikan $x=2$ ke dalam fungsi:

$$y = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

Jadi titik puncaknya adalah $(2,-1)$, dan karena parabola terbuka ke atas, itu adalah titik minimum.

Selanjutnya cari titik potong. Titik potong sumbu-$y$ langsung terlihat:

$$y = 3 \quad \text{ketika } x=0$$

jadi salah satu titiknya adalah $(0,3)$.

Untuk titik potong sumbu-$x$, tetapkan $y=0$ lalu selesaikan

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

Faktorkan:

$$(x-1)(x-3)=0$$

Jadi grafik memotong sumbu-$x$ di

$$(1,0) \text{ dan } (3,0)$$

Itu sudah cukup untuk membuat sketsa yang andal:

• Titik puncak di $(2,-1)$
• Sumbu simetri $x=2$
• Terbuka ke atas
• Memotong sumbu-$x$ di $(1,0)$ dan $(3,0)$
• Memotong sumbu-$y$ di $(0,3)$

Perhatikan simetrinya: titik $(1,0)$ dan $(3,0)$ berjarak sama dari garis $x=2$.

Cara Cepat Membuat Sketsa Grafik Kuadrat

Saat Anda membutuhkan grafik cepat, gunakan urutan ini:

1. Lihat tanda $a$ untuk mengetahui apakah parabola terbuka ke atas atau ke bawah.
2. Hitung sumbu simetri dengan $x=-\frac{b}{2a}$.
3. Cari titik puncak dengan memasukkan nilai $x$ tersebut ke dalam fungsi.
4. Plot titik potong sumbu-$y$ di $(0,c)$.
5. Cari titik potong sumbu-$x$ real jika ada, atau plot satu titik tambahan lalu cerminkan terhadap sumbu.

Ini biasanya sudah cukup untuk sketsa tangan, bahkan jika Anda tidak menulis fungsi dalam bentuk puncak.

Kesalahan Umum Saat Membuat Sketsa Grafik Kuadrat

Mengira Titik Puncak Sama Dengan Titik Potong

Titik puncak umumnya bukan tempat grafik memotong sumbu. Titik puncak adalah titik balik. Sebuah parabola bisa memiliki titik puncak di atas, di bawah, atau tepat pada sumbu-$x$.

Lupa Bahwa $a \ne 0$

Jika $a=0$, fungsi tersebut bukan fungsi kuadrat, jadi tidak ada parabola dan rumus sumbu untuk fungsi kuadrat tidak berlaku.

Melewatkan Tanda Negatif pada $x = -\frac{b}{2a}$

Banyak kesalahan sketsa dimulai dari sumbu yang salah karena tanda negatif terlewat. Misalnya, jika $b=-4$, maka $-b=4$, bukan $-4$.

Menganggap Setiap Fungsi Kuadrat Memiliki Dua Titik Potong Sumbu-$x$ Real

Beberapa fungsi kuadrat memiliki dua titik potong real, beberapa memiliki satu, dan beberapa tidak memiliki sama sekali. Itu bergantung pada apakah grafik mencapai sumbu-$x$.

Di Mana Grafik Kuadrat Muncul

Grafik kuadrat sering muncul dalam aljabar karena menghubungkan persamaan, akar, dan bentuk grafik dalam satu gambar. Grafik ini juga muncul dalam soal optimasi, ketika titik puncak menunjukkan nilai maksimum atau minimum.

Dalam fisika, model kuadrat juga muncul pada situasi ideal umum seperti gerak peluru, selama asumsi modelnya berlaku.

Coba Soal Serupa

Buat sketsa $y = -x^2 + 6x - 5$. Tentukan sumbu simetri, titik puncak, dan titik potong sebelum menggambar kurvanya. Jika ingin melangkah lebih jauh, ubah ke bentuk puncak dan periksa bahwa kedua cara memberikan titik balik yang sama.