二次方程式 — 解法与公式

二次方程式就是最高次幂为 $2$ 的方程。你做题时最常见的问题通常只有两个: 这是不是二次方程，以及该用哪种方法求解。

它的标准形式是

$$ax^2 + bx + c = 0$$

其中 $a \ne 0$。想快速解题，可以先整理成这个形式，再看能不能因式分解；如果不明显，就先算判别式 $b^2 - 4ac$，最后再决定是否使用求根公式。

二次方程式的定义与标准形式

只要方程化简后最高次项是 $x^2$，它就是二次方程式。比如

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

和

$$3x^2 + 2x - 1 = 0$$

都是二次方程式。

它和一次方程的区别在于，二次方程可能有两个实数解、一个重根，或者在实数范围内没有解。具体属于哪一种，要看判别式。

判别式先判断有没有实数解

对方程

$$ax^2 + bx + c = 0$$

判别式定义为

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

它不会直接给你根，但会先告诉你解的情况:

1. 如果 $\Delta > 0$，有两个不同的实数解。
2. 如果 $\Delta = 0$，有一个重根，也就是两个解相同。
3. 如果 $\Delta < 0$，在实数范围内没有解；如果允许复数，就有两个共轭复数解。

这一步很实用，因为你在正式计算前，就能先判断答案的大方向。

求根公式什么时候最省事

当方程写成标准形式后，可以直接用求根公式:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

这个公式适用于任何二次方程，但前提是 $a \ne 0$，而且方程已经整理成 $ax^2 + bx + c = 0$。

如果方程很容易分解，因式分解通常更快。配方法则更适合解释公式为什么成立，也常用于把二次函数改写成顶点式。

一个完整例题: 用求根公式解二次方程

解方程

$$2x^2 - 3x - 2 = 0$$

先识别系数:

$$a = 2,\quad b = -3,\quad c = -2$$

先看判别式:

$$\Delta = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$$

因为 $\Delta = 25 > 0$，所以这道题有两个不同的实数解。

再代入求根公式:

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$$

于是

$$x = \frac{3 + 5}{4} = 2$$

或

$$x = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$$

所以解是

$$x = 2 \quad \text{或} \quad x = -\frac{1}{2}$$

这道题也能因式分解:

$$2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2)$$

所以

$$(2x + 1)(x - 2) = 0$$

由零乘积性质可得 $x = -\frac{1}{2}$ 或 $x = 2$。这说明因式分解和求根公式得到的是同一组答案。

三种常见解法该怎么选

1. 因式分解

如果二次式能整齐地拆成两个一次因式，这是最快的方法。例如

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

于是解是 $x = 2, 3$。

2. 配方法

配方法会把式子整理成平方的形式。比如

$$x^2 + 6x + 5 = 0$$

可以写成

$$(x+3)^2 - 4 = 0$$

再得出

$$(x+3)^2 = 4$$

所以 $x+3 = \pm 2$，最终 $x = -1$ 或 $x = -5$。

3. 求根公式

当题目不容易分解，或者你想稳定地一次做完时，求根公式最通用。尤其当系数不整齐时，它通常最省判断成本。

解二次方程最常见的错误

一个高频错误是没有先把方程整理成 $ax^2 + bx + c = 0$。如果标准形式不对，代入公式时 $a$、$b$、$c$ 就会取错。

另一个错误是把 $-b$ 看错。比如 $b = -3$ 时，$-b = 3$，不是 $-3$。

还有人会把分母写成 $2$，但正确分母是 $2a$。只有在 $a = 1$ 时，它才刚好等于 $2$。

如果你在配方法里开平方，也要记得写 $\pm$。漏掉这一点，通常会少一个解。

二次方程式通常会用在哪里

二次方程式常出现在抛物线、面积问题、投射运动、最值问题和代数建模里。只要一个关系里出现平方项，它就很可能最终化成二次方程。

在学校数学里，它也是连接代数和函数图像的重要主题。方程的解，对应的就是抛物线与 $x$ 轴的交点。

一个更稳的做题顺序

做题时可以先按这个顺序想:

1. 先整理成 $ax^2 + bx + c = 0$。
2. 看能不能直接因式分解。
3. 不明显时，先算 $\Delta = b^2 - 4ac$ 判断解的类型。
4. 再决定用求根公式，或在适合时用配方法。

这样通常比一上来就硬套公式更稳。

试着自己做一题

试着解

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$

先判断它能不能因式分解，再用判别式核对你会得到几个实数解。做完这题后，再试一个不容易分解的例子，你会更容易体会求根公式什么时候最有用。