Grafici quadratici — vertice, asse di simmetria e disegno

Un grafico quadratico è la parabola che si ottiene da una funzione della forma

$$y = ax^2 + bx + c$$

con $a \ne 0$. Per disegnarlo rapidamente, individua il verso di apertura da $a$, l'asse di simmetria, il vertice e alcuni punti facili come le intercette.

Se devi ricordare un solo fatto strutturale, ricorda questo: il grafico è simmetrico rispetto a una retta verticale che passa per il vertice.

Come trovare il vertice e l'asse di simmetria

Il vertice è il punto di inversione della parabola. È il punto più basso se il grafico è rivolto verso l'alto e il punto più alto se il grafico è rivolto verso il basso.

L'asse di simmetria è la retta verticale che passa per quel vertice. Per

$$y = ax^2 + bx + c$$

l'asse è

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Questa formula si applica solo quando la funzione è davvero quadratica, quindi $a \ne 0$.

Una volta noto l'asse, sostituisci quel valore di $x$ nella funzione per ottenere la coordinata $y$ del vertice.

Come i coefficienti cambiano il grafico

Il segno di $a$ controlla il verso di apertura.

• Se $a > 0$, la parabola è rivolta verso l'alto, quindi il vertice è un minimo.
• Se $a < 0$, la parabola è rivolta verso il basso, quindi il vertice è un massimo.

La grandezza di $|a|$ influisce sulla larghezza. Rispetto a $y = x^2$, un valore maggiore di $|a|$ rende il grafico più stretto, mentre un valore positivo più piccolo di $|a|$ lo rende più largo.

Il termine costante $c$ dà l'intercetta con l'asse $y$ perché quando $x=0$,

$$y = c$$

Questo fornisce subito un punto: $(0,c)$.

Esempio svolto: disegna $y = x^2 - 4x + 3$

Parti da

$$y = x^2 - 4x + 3$$

Qui, $a=1$, $b=-4$ e $c=3$, quindi il grafico è rivolto verso l'alto.

Per prima cosa trova l'asse di simmetria:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$

Ora trova il vertice sostituendo $x=2$ nella funzione:

$$y = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

Quindi il vertice è $(2,-1)$ e, poiché la parabola è rivolta verso l'alto, è il punto di minimo.

Poi trova le intercette. L'intercetta con l'asse $y$ è immediata:

$$y = 3 \quad \text{quando } x=0$$

quindi un punto è $(0,3)$.

Per le intercette con l'asse $x$, poni $y=0$ e risolvi

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

Scomponi:

$$(x-1)(x-3)=0$$

Quindi il grafico interseca l'asse $x$ in

$$(1,0) \text{ e } (3,0)$$

Questo dà già uno schizzo affidabile:

• Vertice in $(2,-1)$
• Asse di simmetria $x=2$
• Rivolta verso l'alto
• Interseca l'asse $x$ in $(1,0)$ e $(3,0)$
• Interseca l'asse $y$ in $(0,3)$

Nota la simmetria: i punti $(1,0)$ e $(3,0)$ hanno la stessa distanza dalla retta $x=2$.

Un modo veloce per disegnare un grafico quadratico

Quando ti serve un grafico rapido, usa questo ordine:

1. Leggi il segno di $a$ per capire se la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso.
2. Calcola l'asse di simmetria con $x=-\frac{b}{2a}$.
3. Trova il vertice sostituendo quel valore di $x$ nella funzione.
4. Traccia l'intercetta con l'asse $y$ in $(0,c)$.
5. Trova le intercette reali con l'asse $x$, se esistono, oppure traccia un punto in più e riflettilo rispetto all'asse.

Di solito questo basta per uno schizzo a mano, anche se non scrivi la funzione in forma di vertice.

Errori comuni quando si disegnano grafici quadratici

Confondere il vertice con un'intercetta

Il vertice in generale non è il punto in cui il grafico interseca un asse. È il punto di inversione. Una parabola può avere il vertice sopra, sotto oppure sull'asse $x$.

Dimenticare che $a \ne 0$

Se $a=0$, la funzione non è quadratica, quindi non c'è una parabola e la formula dell'asse per le quadratiche non si applica.

Dimenticare il segno meno in $x = -\frac{b}{2a}$

Molti errori nel disegno iniziano con un asse sbagliato perché si dimentica il segno meno. Per esempio, se $b=-4$, allora $-b=4$, non $-4$.

Supporre che ogni quadratica abbia due intercette reali con l'asse $x$

Alcune quadratiche hanno due intercette reali, alcune ne hanno una e alcune nessuna. Dipende dal fatto che il grafico raggiunga oppure no l'asse $x$.

Dove compaiono i grafici quadratici

I grafici quadratici compaiono spesso in algebra perché collegano equazioni, radici e forma del grafico in un'unica immagine. Compaiono anche nei problemi di ottimizzazione, dove il vertice indica un valore massimo o minimo.

In fisica, un modello quadratico compare anche in situazioni idealizzate comuni come il moto dei proiettili, purché le ipotesi del modello siano valide.

Prova un esercizio simile

Disegna $y = -x^2 + 6x - 5$. Trova l'asse di simmetria, il vertice e le intercette prima di tracciare la curva. Se vuoi fare un passo in più, riscrivila in forma di vertice e verifica che entrambi gli approcci diano lo stesso punto di inversione.