群论——群、子群与同态

群论研究的是：一个集合和一种运算在什么情况下能够稳定地配合在一起。一个群有四个要素：封闭性、结合律、单位元，以及每个元素都有逆元。子群是大群内部的一个较小的群，而同态是保持运算不变的映射。

如果你只记住一个例子，那就用整数在加法下构成的结构。它既展示了群的定义，也给出了一个清晰的子群，还能让同态的概念更容易检验。

群的定义：四条公理

群是一个集合 $G$ 连同一种运算，通常用乘法记号写成 $ab$，并满足以下四个条件：

1. 封闭性：如果 $a,b \in G$，那么 $ab \in G$。
2. 结合律：对所有 $a,b,c \in G$，都有 $(ab)c = a(bc)$。
3. 单位元：存在元素 $e \in G$，使得对每个 $a \in G$ 都有 $ea = ae = a$。
4. 逆元：对每个 $a \in G$，都存在元素 $a^{-1} \in G$，使得 $aa^{-1} = a^{-1}a = e$。

这就是完整的定义。只要有一个条件不成立，这个集合连同该运算就不是群。

为什么这个定义重要

这个定义给出了一个系统：你可以把元素组合起来，可以撤销已经做过的操作，并且可以相信重新分组不会改变结果。这就是为什么群会出现在对称性、模运算、置换和矩阵代数中。

如果把一种运算看成一次合法操作，那么群就是这样一个系统：合法操作可以组合，有一个“什么都不做”的操作，而且每个操作都可以被逆转。

例子：为什么 $(\mathbb{Z}, +)$ 是一个群

取全体整数集合 $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$，运算取加法。

这构成一个群：

• 封闭性成立，因为两个整数的和仍然是整数。
• 结合律成立，因为对整数有 $(a+b)+c = a+(b+c)$。
• 单位元是 $0$，因为 $a+0 = 0+a = a$。
• 元素 $a$ 的逆元是 $-a$，因为 $a + (-a) = 0$。

所以 $(\mathbb{Z}, +)$ 是一个群。

这个例子是很好的起点，因为它也能把子群和同态具体地展示出来。

用偶整数说明子群的定义

子群是群的一个子集，并且在同一种运算下它本身也是一个群。

在 $(\mathbb{Z}, +)$ 中，考虑偶整数：

$$2\mathbb{Z} = \{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$$

它在加法下是 $\mathbb{Z}$ 的一个子群，因为：

• 两个偶整数相加仍然得到偶整数
• $0$ 是偶数，所以单位元仍然在其中
• 一个偶整数的相反数仍然是偶整数

因此，$2\mathbb{Z}$ 不只是一个子集。它保留了与大群相同的代数规则。

这就是子群的核心思想：它是一个更小但封闭的世界，在那里同一种运算仍然有效。

同态的定义：保留运算

同态是群与群之间保持运算不变的函数。

如果 $f : G \to H$ 是一个同态，那么

$$f(ab) = f(a)f(b)$$

对所有 $a,b \in G$ 都成立。

具体符号取决于所讨论的群。如果运算是加法，这个条件通常写成

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

意思是一样的：先运算再映射，或者先映射再运算，这两条路径得到的结果相同。同态正是让这两种做法一致的映射。

例题：从 $\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}_2$ 的奇偶映射

定义 $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2$ 为

$$f(n) = \text{the remainder of } n \text{ mod } 2$$

这里 $\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$，运算是模 $2$ 加法。

这个函数记录一个整数是偶数还是奇数。要检验它是不是同态，可以比较两边：

$$f(a+b)$$

表示和的奇偶性，而

$$f(a) + f(b)$$

表示两个奇偶值在模 $2$ 下相加。

对所有整数 $a$ 和 $b$，这两者都相同，所以

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

在 $\mathbb{Z}_2$ 中成立。

例如，当 $a=3$ 且 $b=5$ 时，

$$f(3) = 1,\qquad f(5) = 1,\qquad f(3+5) = f(8) = 0$$

并且

$$f(3)+f(5) = 1+1 = 0 \pmod{2}$$

所以这个映射保留了群运算。

群论中的常见错误

忘记运算本身也是数据的一部分

说“整数构成一个群”是不完整的，除非运算已经明确。整数在加法下构成群，但在乘法下不构成群，因为大多数整数在 $\mathbb{Z}$ 内都没有乘法逆元。

以为每个子集都是子群

一个子集必须保留单位元、在该运算下保持封闭，并且包含逆元。例如，正整数不是 $(\mathbb{Z}, +)$ 的子群，因为它们不包含 $0$，也不包含加法逆元。

把同态当成任意函数

同态不是集合之间随便一个映射。它最核心的要求就是保留运算。如果这个条件不成立，它就不是群同态。

在不同群之间混用记号

在一个群里，运算可能是加法；在另一个群里，可能是乘法；还有的群里，运算是复合。写同态条件时，左右两边都必须使用各自正确的运算。

群论用在哪里

只要一个问题具有可重复、可逆的结构，群论就会派上用场。常见例子包括图形的对称性、模运算、置换、线性代数以及物理学中的一些内容。

你不需要先接触高级例子才能从中受益。即使在基础层面，群论也能帮助你看出：不同问题背后可能共享同一种结构。

试着做一个类似的问题

从 $(\mathbb{Z}, +)$ 开始。检查 $3$ 的倍数是否构成一个子群。然后考察映射 $g(n) = n \bmod 3$，它把 $\mathbb{Z}$ 映到 $\mathbb{Z}_3$，并验证

$$g(a+b) = g(a) + g(b)$$

是否在模 $3$ 意义下成立。

如果你还想再进一步，可以用等边三角形的旋转来做同样的问题。这通常是群论开始让人感觉像一种工具，而不只是一个定义的时候。