Teori Grup — Grup, Subgrup & Homomorfisme

Teori grup menjelaskan kapan sebuah himpunan dan suatu operasi bekerja bersama secara stabil. Sebuah grup memiliki empat unsur: tertutup, asosiatif, elemen identitas, dan invers untuk setiap elemen. Subgrup adalah grup yang lebih kecil di dalam grup yang lebih besar, dan homomorfisme adalah pemetaan yang mempertahankan operasi.

Jika Anda hanya mengingat satu contoh, gunakan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. Contoh ini menunjukkan definisi grup, memberi contoh subgrup yang jelas, dan membuat gagasan homomorfisme mudah diuji.

Definisi grup: empat aksioma

Sebuah grup adalah himpunan $G$ bersama suatu operasi, yang sering ditulis secara multiplikatif sebagai $ab$, sehingga empat syarat berikut berlaku:

1. Tertutup: jika $a,b \in G$, maka $ab \in G$.
2. Asosiatif: $(ab)c = a(bc)$ untuk semua $a,b,c \in G$.
3. Identitas: ada elemen $e \in G$ sehingga $ea = ae = a$ untuk setiap $a \in G$.
4. Invers: untuk setiap $a \in G$, ada elemen $a^{-1} \in G$ sehingga $aa^{-1} = a^{-1}a = e$.

Itulah definisi lengkapnya. Jika satu saja syarat gagal dipenuhi, maka himpunan dengan operasi tersebut bukanlah grup.

Mengapa definisi ini penting

Definisi ini memberi Anda suatu sistem tempat elemen-elemen dapat digabungkan, hasilnya bisa dibalik, dan pengelompokan ulang tidak mengubah hasil. Itulah sebabnya grup muncul dalam simetri, aritmetika modular, permutasi, dan aljabar matriks.

Jika Anda menganggap suatu operasi sebagai langkah yang sah, maka grup adalah sistem tempat langkah-langkah sah dapat digabungkan, ada langkah yang tidak melakukan apa-apa, dan setiap langkah dapat dibalik.

Contoh: mengapa $(\mathbb{Z}, +)$ adalah grup

Ambil himpunan semua bilangan bulat $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ dengan operasi penjumlahan.

Ini adalah grup:

• Sifat tertutup berlaku karena jumlah dua bilangan bulat tetap merupakan bilangan bulat.
• Sifat asosiatif berlaku karena $(a+b)+c = a+(b+c)$ untuk bilangan bulat.
• Elemen identitasnya adalah $0$ karena $a+0 = 0+a = a$.
• Invers dari $a$ adalah $-a$ karena $a + (-a) = 0$.

Jadi $(\mathbb{Z}, +)$ adalah grup.

Contoh ini adalah titik awal yang tepat karena juga membuat subgrup dan homomorfisme menjadi konkret.

Definisi subgrup dengan bilangan bulat genap

Subgrup adalah subhimpunan dari suatu grup yang juga merupakan grup dengan operasi yang sama.

Di dalam $(\mathbb{Z}, +)$, perhatikan bilangan bulat genap:

$$2\mathbb{Z} = \{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$$

Ini adalah subgrup dari $\mathbb{Z}$ terhadap penjumlahan karena:

• penjumlahan dua bilangan bulat genap menghasilkan bilangan bulat genap lagi
• $0$ adalah bilangan genap, jadi elemen identitas tetap ada
• lawan dari bilangan bulat genap tetap merupakan bilangan bulat genap

Jadi $2\mathbb{Z}$ bukan sekadar subhimpunan. Himpunan ini mempertahankan aturan aljabar yang sama seperti grup yang lebih besar.

Itulah gagasan utama subgrup: sebuah dunia yang lebih kecil dan tertutup tempat operasi yang sama tetap berlaku.

Definisi homomorfisme: mempertahankan operasi

Homomorfisme adalah fungsi antargrup yang mempertahankan operasi.

Jika $f : G \to H$ adalah homomorfisme, maka

$$f(ab) = f(a)f(b)$$

untuk semua $a,b \in G$.

Simbol yang tepat bergantung pada grup yang terlibat. Jika operasinya adalah penjumlahan, syarat yang sama sering ditulis sebagai

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

Intinya tetap sama: gabungkan dulu lalu petakan, atau petakan dulu lalu gabungkan. Homomorfisme membuat kedua cara itu menghasilkan hal yang sama.

Contoh terperinci: pemetaan paritas dari $\mathbb{Z}$ ke $\mathbb{Z}_2$

Definisikan $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2$ dengan

$$f(n) = \text{sisa pembagian } n \text{ modulo } 2$$

Di sini $\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$ dengan penjumlahan modulo $2$.

Fungsi ini mencatat apakah suatu bilangan bulat genap atau ganjil. Untuk memeriksa bahwa ini adalah homomorfisme, bandingkan kedua sisinya:

$$f(a+b)$$

adalah paritas dari jumlahnya, sedangkan

$$f(a) + f(b)$$

menjumlahkan dua paritas tersebut modulo $2$.

Keduanya cocok untuk semua bilangan bulat $a$ dan $b$, sehingga

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

di $\mathbb{Z}_2$.

Sebagai contoh, jika $a=3$ dan $b=5$, maka

$$f(3) = 1,\qquad f(5) = 1,\qquad f(3+5) = f(8) = 0$$

dan

$$f(3)+f(5) = 1+1 = 0 \pmod{2}$$

Jadi pemetaan ini mempertahankan operasi grup.

Kesalahan umum dalam teori grup

Lupa bahwa operasi adalah bagian dari datanya

Mengatakan "bilangan bulat membentuk grup" tidak lengkap kecuali operasinya jelas. Bilangan bulat membentuk grup terhadap penjumlahan, tetapi tidak terhadap perkalian, karena sebagian besar bilangan bulat tidak memiliki invers perkalian di dalam $\mathbb{Z}$.

Menganggap setiap subhimpunan adalah subgrup

Suatu subhimpunan harus memuat elemen identitas, tetap tertutup terhadap operasi, dan memuat invers. Misalnya, bilangan bulat positif bukan subgrup dari $(\mathbb{Z}, +)$ karena tidak memuat $0$ dan tidak memuat invers aditif.

Menganggap homomorfisme seperti fungsi sembarang

Homomorfisme bukan sekadar pemetaan apa pun antarhimpunan. Tugas utamanya adalah mempertahankan operasi. Jika syarat itu gagal, maka itu bukan homomorfisme grup.

Mencampur notasi dari grup yang berbeda

Dalam satu grup operasinya bisa berupa penjumlahan, di grup lain perkalian, dan di grup lain lagi komposisi. Aturan homomorfisme harus menggunakan operasi yang benar di masing-masing sisi.

Di mana teori grup digunakan

Teori grup digunakan setiap kali suatu masalah memiliki struktur yang dapat diulang dan dibalik. Contoh umum meliputi simetri bangun, aritmetika modular, permutasi, aljabar linear, dan beberapa bagian fisika.

Anda tidak perlu contoh tingkat lanjut untuk merasakan manfaatnya. Bahkan pada tingkat dasar, teori grup membantu Anda mengenali kapan masalah yang berbeda sebenarnya memiliki struktur dasar yang sama.

Coba soal serupa

Mulailah dengan $(\mathbb{Z}, +)$. Periksa apakah kelipatan $3$ membentuk subgrup. Lalu uji pemetaan $g(n) = n \bmod 3$ dari $\mathbb{Z}$ ke $\mathbb{Z}_3$ dan periksa apakah

$$g(a+b) = g(a) + g(b)$$

berlaku modulo $3$.

Jika Anda ingin melangkah satu tahap lagi, coba pertanyaan yang sama untuk rotasi segitiga sama sisi. Di situlah teori grup sering mulai terasa sebagai alat, bukan sekadar definisi.