Théorie des groupes — groupes, sous-groupes et homomorphismes

La théorie des groupes explique quand un ensemble et une opération s’accordent de façon stable. Un groupe repose sur quatre ingrédients : la fermeture, l’associativité, un élément neutre et un inverse pour chaque élément. Un sous-groupe est un groupe plus petit à l’intérieur d’un plus grand, et un homomorphisme est une application qui préserve l’opération.

Si vous ne retenez qu’un seul exemple, prenez les entiers munis de l’addition. Il montre la définition d’un groupe, donne un sous-groupe simple et rend l’idée d’homomorphisme facile à tester.

Définition d’un groupe : les quatre axiomes

Un groupe est un ensemble $G$ muni d’une opération, souvent notée multiplicativement par $ab$, tel que quatre conditions soient vérifiées :

1. Fermeture : si $a,b \in G$, alors $ab \in G$.
2. Associativité : $(ab)c = a(bc)$ pour tous $a,b,c \in G$.
3. Élément neutre : il existe un élément $e \in G$ tel que $ea = ae = a$ pour tout $a \in G$.
4. Inverses : pour chaque $a \in G$, il existe un élément $a^{-1} \in G$ tel que $aa^{-1} = a^{-1}a = e$.

C’est la définition complète. Si une seule condition échoue, l’ensemble muni de cette opération n’est pas un groupe.

Pourquoi cette définition est importante

Cette définition vous donne un système dans lequel vous pouvez combiner des éléments, annuler ce que vous avez fait et être sûr que changer le regroupement ne modifie pas le résultat. C’est pourquoi les groupes apparaissent en symétrie, en arithmétique modulaire, dans les permutations et en algèbre matricielle.

Si vous voyez une opération comme un mouvement autorisé, alors un groupe est un système où les mouvements autorisés peuvent se combiner, où il existe un mouvement qui ne fait rien, et où chaque mouvement peut être inversé.

Exemple : pourquoi $(\mathbb{Z}, +)$ est un groupe

Prenez l’ensemble de tous les entiers $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ avec l’opération d’addition.

C’est un groupe :

• la fermeture est vérifiée parce que la somme de deux entiers est encore un entier
• l’associativité est vérifiée parce que $(a+b)+c = a+(b+c)$ pour les entiers
• l’élément neutre est $0$ parce que $a+0 = 0+a = a$
• l’inverse de $a$ est $-a$ parce que $a + (-a) = 0$

Donc $(\mathbb{Z}, +)$ est un groupe.

Cet exemple est le bon point de départ parce qu’il rend aussi concrets les sous-groupes et les homomorphismes.

Définition d’un sous-groupe avec les entiers pairs

Un sous-groupe est une partie d’un groupe qui est elle-même un groupe pour la même opération.

À l’intérieur de $(\mathbb{Z}, +)$, considérons les entiers pairs :

$$2\mathbb{Z} = \{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$$

C’est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ pour l’addition parce que :

• la somme de deux entiers pairs est encore un entier pair
• $0$ est pair, donc l’élément neutre est toujours présent
• l’opposé d’un entier pair est encore pair

Ainsi, $2\mathbb{Z}$ n’est pas seulement une partie de $\mathbb{Z}$. Il conserve les mêmes règles algébriques que le groupe plus grand.

C’est l’idée principale d’un sous-groupe : c’est un monde plus petit et fermé où la même opération fonctionne encore.

Définition d’un homomorphisme : préserver l’opération

Un homomorphisme est une fonction entre groupes qui préserve l’opération.

Si $f : G \to H$ est un homomorphisme, alors

$$f(ab) = f(a)f(b)$$

pour tous $a,b \in G$.

Les symboles exacts dépendent des groupes concernés. Si l’opération est l’addition, la même condition s’écrit souvent

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

L’idée est la même : on combine d’abord puis on applique la fonction, ou bien on applique la fonction d’abord puis on combine. Un homomorphisme fait coïncider ces deux chemins.

Exemple détaillé : l’application de parité de $\mathbb{Z}$ vers $\mathbb{Z}_2$

Définissons $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2$ par

$$f(n) = \text{le reste de } n \text{ modulo } 2$$

Ici $\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$ avec l’addition modulo $2$.

Cette fonction indique si un entier est pair ou impair. Pour vérifier que c’est un homomorphisme, comparons les deux côtés :

$$f(a+b)$$

est la parité de la somme, tandis que

$$f(a) + f(b)$$

additionne les deux parités modulo $2$.

Ces deux expressions coïncident pour tous les entiers $a$ et $b$, donc

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

dans $\mathbb{Z}_2$.

Par exemple, si $a=3$ et $b=5$, alors

$$f(3) = 1,\qquad f(5) = 1,\qquad f(3+5) = f(8) = 0$$

et

$$f(3)+f(5) = 1+1 = 0 \pmod{2}$$

Donc l’application préserve l’opération du groupe.

Erreurs fréquentes en théorie des groupes

Oublier que l’opération fait partie des données

Dire « les entiers forment un groupe » est incomplet tant que l’opération n’est pas précisée. Les entiers forment un groupe pour l’addition, mais pas pour la multiplication, car la plupart des entiers n’ont pas d’inverse multiplicatif dans $\mathbb{Z}$.

Supposer que toute partie est un sous-groupe

Une partie doit contenir l’élément neutre, rester fermée pour l’opération et contenir les inverses. Par exemple, les entiers positifs ne forment pas un sous-groupe de $(\mathbb{Z}, +)$ parce qu’ils ne contiennent pas $0$ et ne contiennent pas les inverses additifs.

Traiter les homomorphismes comme des fonctions quelconques

Un homomorphisme n’est pas n’importe quelle application entre ensembles. Son rôle essentiel est de préserver l’opération. Si cette condition échoue, ce n’est pas un homomorphisme de groupes.

Mélanger les notations entre différents groupes

Dans un groupe, l’opération peut être l’addition, dans un autre la multiplication, et dans un autre encore la composition. La règle de l’homomorphisme doit utiliser la bonne opération de chaque côté.

Où la théorie des groupes est utilisée

La théorie des groupes est utilisée dès qu’un problème possède une structure répétable et réversible. Parmi les exemples courants, on trouve les symétries de figures, l’arithmétique modulaire, les permutations, l’algèbre linéaire et certaines parties de la physique.

Vous n’avez pas besoin d’exemples avancés pour en tirer profit. Même à un niveau élémentaire, la théorie des groupes aide à reconnaître quand des problèmes différents partagent la même structure sous-jacente.

Essayez un problème similaire

Commencez avec $(\mathbb{Z}, +)$. Vérifiez si les multiples de $3$ forment un sous-groupe. Testez ensuite l’application $g(n) = n \bmod 3$ de $\mathbb{Z}$ vers $\mathbb{Z}_3$ et vérifiez si

$$g(a+b) = g(a) + g(b)$$

est vérifiée modulo $3$.

Si vous voulez aller un peu plus loin, essayez les mêmes questions avec les rotations d’un triangle équilatéral. C’est souvent à ce moment-là que la théorie des groupes commence à ressembler à un outil plutôt qu’à une simple définition.