Teoria dos Grupos — Grupos, Subgrupos e Homomorfismos

A teoria dos grupos explica quando um conjunto e uma operação se encaixam de forma estável. Um grupo tem quatro ingredientes: fechamento, associatividade, elemento identidade e um inverso para cada elemento. Um subgrupo é um grupo menor dentro de um grupo maior, e um homomorfismo é uma aplicação que preserva a operação.

Se você só lembrar de um exemplo, use os inteiros com a adição. Esse exemplo mostra a definição de grupo, fornece um subgrupo claro e torna a ideia de homomorfismo fácil de testar.

Definição de grupo: os quatro axiomas

Um grupo é um conjunto $G$ junto com uma operação, muitas vezes escrita de forma multiplicativa como $ab$, tal que quatro condições valem:

1. Fechamento: se $a,b \in G$, então $ab \in G$.
2. Associatividade: $(ab)c = a(bc)$ para todos $a,b,c \in G$.
3. Identidade: existe um elemento $e \in G$ tal que $ea = ae = a$ para todo $a \in G$.
4. Inversos: para cada $a \in G$, existe um elemento $a^{-1} \in G$ tal que $aa^{-1} = a^{-1}a = e$.

Essa é a definição completa. Se até uma única condição falhar, o conjunto com essa operação não é um grupo.

Por que a definição importa

A definição fornece um sistema em que você pode combinar elementos, desfazer o que fez e confiar que reagrupar não muda o resultado. É por isso que grupos aparecem em simetria, aritmética modular, permutações e álgebra de matrizes.

Se você pensar em uma operação como um movimento permitido, então um grupo é um sistema em que movimentos permitidos podem ser combinados, existe um movimento que não faz nada e todo movimento pode ser revertido.

Exemplo: por que $(\mathbb{Z}, +)$ é um grupo

Considere o conjunto de todos os inteiros $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ com a operação de adição.

Isso é um grupo:

• O fechamento vale porque a soma de dois inteiros ainda é um inteiro.
• A associatividade vale porque $(a+b)+c = a+(b+c)$ para inteiros.
• O elemento identidade é $0$ porque $a+0 = 0+a = a$.
• O inverso de $a$ é $-a$ porque $a + (-a) = 0$.

Logo, $(\mathbb{Z}, +)$ é um grupo.

Esse exemplo é o ponto de partida certo porque também torna concretos os subgrupos e os homomorfismos.

Definição de subgrupo com os inteiros pares

Um subgrupo é um subconjunto de um grupo que é ele próprio um grupo sob a mesma operação.

Dentro de $(\mathbb{Z}, +)$, considere os inteiros pares:

$$2\mathbb{Z} = \{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$$

Isso é um subgrupo de $\mathbb{Z}$ sob a adição porque:

• somar dois inteiros pares produz outro inteiro par
• $0$ é par, então a identidade continua presente
• o oposto de um inteiro par ainda é par

Assim, $2\mathbb{Z}$ não é apenas um subconjunto. Ele mantém as mesmas regras algébricas do grupo maior.

Essa é a ideia principal de um subgrupo: é um mundo menor e fechado em que a mesma operação continua funcionando.

Definição de homomorfismo: preservando a operação

Um homomorfismo é uma função entre grupos que preserva a operação.

Se $f : G \to H$ é um homomorfismo, então

$$f(ab) = f(a)f(b)$$

para todos $a,b \in G$.

Os símbolos exatos dependem dos grupos envolvidos. Se a operação for adição, a mesma condição costuma ser escrita como

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

A ideia é a mesma: combinar primeiro e depois aplicar a função, ou aplicar a função primeiro e depois combinar. Um homomorfismo faz esses dois caminhos coincidirem.

Exemplo resolvido: aplicação da paridade de $\mathbb{Z}$ em $\mathbb{Z}_2$

Defina $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2$ por

$$f(n) = \text{o resto de } n \text{ mod } 2$$

Aqui $\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$ com adição módulo $2$.

Essa função registra se um inteiro é par ou ímpar. Para verificar que ela é um homomorfismo, compare os dois lados:

$$f(a+b)$$

é a paridade da soma, enquanto

$$f(a) + f(b)$$

soma as duas paridades módulo $2$.

Esses valores coincidem para todos os inteiros $a$ e $b$, então

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

em $\mathbb{Z}_2$.

Por exemplo, se $a=3$ e $b=5$, então

$$f(3) = 1,\qquad f(5) = 1,\qquad f(3+5) = f(8) = 0$$

e

$$f(3)+f(5) = 1+1 = 0 \pmod{2}$$

Portanto, a aplicação preserva a operação do grupo.

Erros comuns em teoria dos grupos

Esquecer que a operação faz parte dos dados

Dizer "os inteiros formam um grupo" é incompleto, a menos que a operação esteja clara. Os inteiros formam um grupo sob a adição, mas não sob a multiplicação, porque a maioria dos inteiros não tem inverso multiplicativo dentro de $\mathbb{Z}$.

Supor que todo subconjunto é um subgrupo

Um subconjunto precisa conter a identidade, ser fechado sob a operação e conter inversos. Por exemplo, os inteiros positivos não são um subgrupo de $(\mathbb{Z}, +)$ porque não contêm $0$ e não contêm inversos aditivos.

Tratar homomorfismos como funções arbitrárias

Um homomorfismo não é apenas qualquer aplicação entre conjuntos. Sua função principal é preservar a operação. Se essa condição falhar, então não é um homomorfismo de grupos.

Misturar notação entre grupos diferentes

Em um grupo a operação pode ser adição, em outro multiplicação e em outro composição. A regra do homomorfismo deve usar a operação correta em cada lado.

Onde a teoria dos grupos é usada

A teoria dos grupos é usada sempre que um problema tem uma estrutura repetível e reversível. Exemplos comuns incluem simetrias de figuras, aritmética modular, permutações, álgebra linear e partes da física.

Você não precisa de exemplos avançados para se beneficiar dela. Mesmo em um nível básico, a teoria dos grupos ajuda a reconhecer quando problemas diferentes compartilham a mesma estrutura subjacente.

Tente um problema parecido

Comece com $(\mathbb{Z}, +)$. Verifique se os múltiplos de $3$ formam um subgrupo. Depois teste a aplicação $g(n) = n \bmod 3$ de $\mathbb{Z}$ em $\mathbb{Z}_3$ e verifique se

$$g(a+b) = g(a) + g(b)$$

vale módulo $3$.

Se quiser dar mais um passo, tente as mesmas perguntas com rotações de um triângulo equilátero. Muitas vezes é aí que a teoria dos grupos começa a parecer uma ferramenta, e não apenas uma definição.