군론 — 군, 부분군, 준동형

군론은 집합과 연산이 언제 안정적인 방식으로 함께 작동하는지를 설명합니다. 군은 닫힘성, 결합법칙, 항등원, 그리고 모든 원소에 대한 역원이라는 네 가지 요소를 가집니다. 부분군은 더 큰 군 안에 들어 있는 더 작은 군이고, 준동형은 연산을 보존하는 사상입니다.

하나의 예만 기억한다면 덧셈에 대한 정수를 떠올리면 됩니다. 이 예는 군의 정의를 보여 주고, 깔끔한 부분군을 제공하며, 준동형의 아이디어도 쉽게 확인할 수 있게 해 줍니다.

군의 정의: 네 가지 공리

군은 집합 $G$와 그 위의 연산으로 이루어지며, 연산은 보통 곱셈처럼 $ab$로 씁니다. 이때 다음 네 조건이 성립해야 합니다.

1. 닫힘성: $a,b \in G$이면 $ab \in G$이다.
2. 결합법칙: 모든 $a,b,c \in G$에 대해 $(ab)c = a(bc)$이다.
3. 항등원: 모든 $a \in G$에 대해 $ea = ae = a$가 되게 하는 원소 $e \in G$가 존재한다.
4. 역원: 각 $a \in G$에 대해 $aa^{-1} = a^{-1}a = e$가 되게 하는 원소 $a^{-1} \in G$가 존재한다.

이것이 군의 완전한 정의입니다. 조건이 하나라도 실패하면, 그 집합과 연산은 군이 아닙니다.

왜 이 정의가 중요한가

이 정의는 원소들을 결합할 수 있고, 한 일을 되돌릴 수 있으며, 묶는 순서를 바꿔도 결과가 달라지지 않는 체계를 제공합니다. 그래서 군은 대칭, 모듈러 산술, 순열, 행렬대수에서 자주 등장합니다.

연산을 하나의 합법적인 움직임이라고 생각하면, 군은 그런 움직임들을 합성할 수 있고, 아무것도 하지 않는 움직임이 있으며, 모든 움직임을 되돌릴 수 있는 체계입니다.

예시: 왜 $(\mathbb{Z}, +)$는 군인가

모든 정수의 집합 $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$에 덧셈 연산을 생각해 봅시다.

이것은 군입니다.

• 두 정수의 합은 여전히 정수이므로 닫힘성이 성립합니다.
• 정수에 대해 $(a+b)+c = a+(b+c)$이므로 결합법칙이 성립합니다.
• $a+0 = 0+a = a$이므로 항등원은 $0$입니다.
• $a + (-a) = 0$이므로 $a$의 역원은 $-a$입니다.

따라서 $(\mathbb{Z}, +)$는 군입니다.

이 예가 좋은 출발점인 이유는 부분군과 준동형도 구체적으로 보여 주기 때문입니다.

짝수 정수로 보는 부분군의 정의

부분군은 어떤 군의 부분집합이면서, 같은 연산 아래에서 그 자체로도 군이 되는 집합입니다.

$(\mathbb{Z}, +)$ 안에서 짝수 정수들을 생각해 봅시다.

$$2\mathbb{Z} = \{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$$

이 집합은 덧셈에 대해 $\mathbb{Z}$의 부분군입니다. 이유는 다음과 같습니다.

• 짝수 두 개를 더하면 다시 짝수가 됩니다
• $0$은 짝수이므로 항등원이 그대로 들어 있습니다
• 짝수의 음수도 여전히 짝수입니다

따라서 $2\mathbb{Z}$는 단순한 부분집합이 아닙니다. 더 큰 군과 같은 대수적 규칙을 유지합니다.

이것이 부분군의 핵심 아이디어입니다. 같은 연산이 여전히 통하는 더 작은 닫힌 세계라는 뜻입니다.

준동형의 정의: 연산을 보존하기

준동형은 군과 군 사이의 함수로, 연산을 보존합니다.

$f : G \to H$가 준동형이면

$$f(ab) = f(a)f(b)$$

가 모든 $a,b \in G$에 대해 성립합니다.

정확한 기호는 어떤 군을 다루는지에 따라 달라집니다. 연산이 덧셈이면 같은 조건을 보통 다음처럼 씁니다.

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

핵심은 같습니다. 먼저 연산한 뒤 사상하든, 먼저 사상한 뒤 연산하든 결과가 같아야 합니다. 준동형은 이 두 경로를 일치하게 만듭니다.

계산 예시: $\mathbb{Z}$에서 $\mathbb{Z}_2$로 가는 짝홀성 사상

다음과 같이 $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2$를 정의합시다.

$$f(n) = n \text{을 } 2 \text{로 나눈 나머지}$$

여기서 $\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$이고 연산은 법 $2$에 대한 덧셈입니다.

이 함수는 정수가 짝수인지 홀수인지를 기록합니다. 이것이 준동형인지 확인하려면 양변을 비교하면 됩니다.

$$f(a+b)$$

는 합의 짝홀성이고,

$$f(a) + f(b)$$

는 두 짝홀성을 법 $2$로 더한 것입니다.

이 둘은 모든 정수 $a$와 $b$에 대해 일치하므로,

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

가 $\mathbb{Z}_2$에서 성립합니다.

예를 들어 $a=3$, $b=5$이면

$$f(3) = 1,\qquad f(5) = 1,\qquad f(3+5) = f(8) = 0$$

이고

$$f(3)+f(5) = 1+1 = 0 \pmod{2}$$

입니다.

따라서 이 사상은 군의 연산을 보존합니다.

군론에서 자주 하는 실수

연산도 데이터의 일부라는 점을 잊는 경우

"정수는 군을 이룬다"라고만 말하면 연산이 분명하지 않아 불완전합니다. 정수는 덧셈에 대해서는 군이지만, 곱셈에 대해서는 대부분의 정수가 $\mathbb{Z}$ 안에서 곱셈 역원을 가지지 않으므로 군이 아닙니다.

모든 부분집합이 부분군이라고 생각하는 경우

부분집합은 항등원을 포함해야 하고, 연산에 대해 닫혀 있어야 하며, 역원도 포함해야 합니다. 예를 들어 양의 정수는 $(\mathbb{Z}, +)$의 부분군이 아닙니다. $0$을 포함하지 않고, 덧셈 역원도 포함하지 않기 때문입니다.

준동형을 임의의 함수처럼 다루는 경우

준동형은 단순히 두 집합 사이의 아무 함수나 아닙니다. 핵심 역할은 연산을 보존하는 것입니다. 이 조건이 실패하면 군 준동형이 아닙니다.

서로 다른 군의 기호를 섞어 쓰는 경우

어떤 군에서는 연산이 덧셈이고, 다른 군에서는 곱셈이며, 또 다른 군에서는 합성일 수 있습니다. 준동형 조건은 양쪽에서 각각 올바른 연산을 사용해야 합니다.

군론은 어디에 쓰이는가

군론은 반복 가능하고 되돌릴 수 있는 구조가 있는 문제에서 사용됩니다. 대표적인 예로는 도형의 대칭, 모듈러 산술, 순열, 선형대수, 그리고 물리학의 일부 분야가 있습니다.

이를 활용하기 위해 고급 예시가 꼭 필요한 것은 아닙니다. 기본 수준에서도 군론은 서로 다른 문제들이 같은 밑바탕 구조를 공유하는지 알아보는 데 도움을 줍니다.

비슷한 문제를 직접 해 보기

$(\mathbb{Z}, +)$에서 시작해 봅시다. $3$의 배수들이 부분군을 이루는지 확인해 보세요. 그다음 $g(n) = n \bmod 3$라는 사상을 $\mathbb{Z}$에서 $\mathbb{Z}_3$로 두고,

$$g(a+b) = g(a) + g(b)$$

가 법 $3$에서 성립하는지 확인해 보세요.

한 걸음 더 나아가고 싶다면, 정삼각형의 회전에 대해서도 같은 질문을 해 보세요. 그쯤 되면 군론이 단순한 정의가 아니라 도구처럼 느껴지기 시작합니다.