ทฤษฎีกลุ่ม — กลุ่ม กลุ่มย่อย และโฮโมมอร์ฟิซึม

ทฤษฎีกลุ่มอธิบายว่าเมื่อใดเซตกับการดำเนินการจะทำงานร่วมกันได้อย่างมีเสถียรภาพ กลุ่มมีองค์ประกอบสำคัญ 4 อย่างคือ การปิด การเปลี่ยนหมู่ สมาชิกเอกลักษณ์ และอินเวอร์สของทุกสมาชิก กลุ่มย่อยคือกลุ่มที่เล็กกว่าและอยู่ภายในกลุ่มที่ใหญ่กว่า ส่วนโฮโมมอร์ฟิซึมคือฟังก์ชันที่รักษาการดำเนินการไว้

ถ้าจะจำเพียงตัวอย่างเดียว ให้ใช้จำนวนเต็มภายใต้การบวก ตัวอย่างนี้แสดงนิยามของกลุ่ม มีกลุ่มย่อยที่ชัดเจน และทำให้แนวคิดเรื่องโฮโมมอร์ฟิซึมตรวจสอบได้ง่าย

นิยามของกลุ่ม: สัจพจน์ทั้งสี่

กลุ่มคือเซต $G$ ที่มาพร้อมกับการดำเนินการหนึ่งอย่าง ซึ่งมักเขียนในรูปการคูณเป็น $ab$ โดยมีเงื่อนไข 4 ข้อต่อไปนี้เป็นจริง:

1. การปิด: ถ้า $a,b \in G$ แล้ว $ab \in G$
2. การเปลี่ยนหมู่: $(ab)c = a(bc)$ สำหรับทุก $a,b,c \in G$
3. เอกลักษณ์: มีสมาชิก $e \in G$ ที่ทำให้ $ea = ae = a$ สำหรับทุก $a \in G$
4. อินเวอร์ส: สำหรับแต่ละ $a \in G$ จะมีสมาชิก $a^{-1} \in G$ ที่ทำให้ $aa^{-1} = a^{-1}a = e$

นี่คือนิยามทั้งหมดของกลุ่ม ถ้าเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งไม่เป็นจริง เซตนั้นพร้อมการดำเนินการนั้นก็ไม่ใช่กลุ่ม

ทำไมนิยามนี้จึงสำคัญ

นิยามนี้ให้ระบบที่คุณสามารถนำสมาชิกมารวมกัน ย้อนกลับสิ่งที่ทำไปได้ และมั่นใจได้ว่าการจัดวงเล็บใหม่จะไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ นี่จึงเป็นเหตุผลที่กลุ่มปรากฏในเรื่องสมมาตร เลขคณิตมอดูลาร์ การเรียงสับเปลี่ยน และพีชคณิตเมทริกซ์

ถ้าคุณมองการดำเนินการเป็น “การเคลื่อนไหวที่ทำได้อย่างถูกต้อง” กลุ่มก็คือระบบที่การเคลื่อนไหวเหล่านั้นนำมาประกอบกันได้ มีการเคลื่อนไหวแบบไม่ทำอะไรเลย และทุกการเคลื่อนไหวสามารถย้อนกลับได้

ตัวอย่าง: ทำไม $(\mathbb{Z}, +)$ จึงเป็นกลุ่ม

พิจารณาเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ พร้อมการดำเนินการบวก

นี่คือกลุ่ม เพราะว่า:

• การปิดเป็นจริง เพราะผลบวกของจำนวนเต็มสองจำนวนยังคงเป็นจำนวนเต็ม
• การเปลี่ยนหมู่เป็นจริง เพราะ $(a+b)+c = a+(b+c)$ สำหรับจำนวนเต็ม
• สมาชิกเอกลักษณ์คือ $0$ เพราะ $a+0 = 0+a = a$
• อินเวอร์สของ $a$ คือ $-a$ เพราะ $a + (-a) = 0$

ดังนั้น $(\mathbb{Z}, +)$ จึงเป็นกลุ่ม

ตัวอย่างนี้เป็นจุดเริ่มต้นที่เหมาะสม เพราะยังช่วยให้แนวคิดเรื่องกลุ่มย่อยและโฮโมมอร์ฟิซึมเห็นภาพได้ชัดเจน

นิยามของกลุ่มย่อยด้วยจำนวนเต็มคู่

กลุ่มย่อยคือสับเซตของกลุ่มที่ตัวมันเองก็เป็นกลุ่มภายใต้การดำเนินการเดียวกัน

ภายใน $(\mathbb{Z}, +)$ ให้พิจารณาจำนวนเต็มคู่:

$$2\mathbb{Z} = \{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$$

นี่เป็นกลุ่มย่อยของ $\mathbb{Z}$ ภายใต้การบวก เพราะว่า:

• การบวกจำนวนเต็มคู่สองจำนวนให้ผลเป็นจำนวนเต็มคู่อีกจำนวนหนึ่ง
• $0$ เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นสมาชิกเอกลักษณ์ยังคงอยู่
• จำนวนตรงข้ามของจำนวนเต็มคู่ก็ยังเป็นจำนวนเต็มคู่

ดังนั้น $2\mathbb{Z}$ ไม่ได้เป็นเพียงสับเซตเท่านั้น แต่มันยังคงกฎพีชคณิตแบบเดียวกับกลุ่มที่ใหญ่กว่าไว้ด้วย

นี่คือแนวคิดหลักของกลุ่มย่อย: มันคือโลกที่เล็กลงและปิดภายในตัวเอง ซึ่งการดำเนินการเดิมยังคงใช้ได้

นิยามของโฮโมมอร์ฟิซึม: การรักษาการดำเนินการไว้

โฮโมมอร์ฟิซึมคือฟังก์ชันระหว่างกลุ่มที่รักษาการดำเนินการไว้

ถ้า $f : G \to H$ เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม จะได้ว่า

$$f(ab) = f(a)f(b)$$

สำหรับทุก $a,b \in G$

สัญลักษณ์ที่ใช้จริงอาจต่างกันตามกลุ่มที่เกี่ยวข้อง ถ้าการดำเนินการคือการบวก เงื่อนไขเดียวกันนี้มักเขียนเป็น

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

ใจความสำคัญเหมือนเดิม: จะรวมกันก่อนแล้วค่อยส่งผ่านฟังก์ชัน หรือส่งผ่านฟังก์ชันก่อนแล้วค่อยรวมกัน ก็ต้องได้ผลสอดคล้องกัน โฮโมมอร์ฟิซึมทำให้สองเส้นทางนี้ให้คำตอบตรงกัน

ตัวอย่างแบบทำครบ: ฟังก์ชันพาริตีจาก $\mathbb{Z}$ ไปยัง $\mathbb{Z}_2$

กำหนด $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2$ โดย

$$f(n) = \text{เศษของ } n \text{ เมื่อหารด้วย } 2$$

ที่นี่ $\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$ พร้อมการบวกแบบมอดูลาร์ $2$

ฟังก์ชันนี้บอกว่าจำนวนเต็มนั้นเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ เพื่อตรวจสอบว่ามันเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมหรือไม่ ให้เปรียบเทียบทั้งสองข้าง:

$$f(a+b)$$

คือพาริตีของผลบวก ขณะที่

$$f(a) + f(b)$$

คือการนำพาริตีทั้งสองมาบวกกันแบบ mod $2$

สองค่านี้ตรงกันสำหรับจำนวนเต็มทุกคู่ $a$ และ $b$ ดังนั้น

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

ใน $\mathbb{Z}_2$

ตัวอย่างเช่น ถ้า $a=3$ และ $b=5$ จะได้ว่า

$$f(3) = 1,\qquad f(5) = 1,\qquad f(3+5) = f(8) = 0$$

และ

$$f(3)+f(5) = 1+1 = 0 \pmod{2}$$

ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงรักษาการดำเนินการของกลุ่มไว้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในทฤษฎีกลุ่ม

ลืมว่าการดำเนินการเป็นส่วนหนึ่งของข้อมูล

การพูดว่า “จำนวนเต็มเป็นกลุ่ม” ยังไม่สมบูรณ์ ถ้ายังไม่ชัดเจนว่าใช้การดำเนินการใด จำนวนเต็มเป็นกลุ่มภายใต้การบวก แต่ไม่เป็นกลุ่มภายใต้การคูณ เพราะจำนวนเต็มส่วนใหญ่ไม่มีอินเวอร์สการคูณอยู่ภายใน $\mathbb{Z}$

คิดว่าทุกสับเซตเป็นกลุ่มย่อย

สับเซตหนึ่งต้องมีสมาชิกเอกลักษณ์ คงการปิดภายใต้การดำเนินการ และมีอินเวอร์สด้วย ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มบวกไม่เป็นกลุ่มย่อยของ $(\mathbb{Z}, +)$ เพราะไม่มี $0$ และไม่มีอินเวอร์สการบวก

มองโฮโมมอร์ฟิซึมเหมือนฟังก์ชันทั่วไป

โฮโมมอร์ฟิซึมไม่ใช่แค่ฟังก์ชันใด ๆ ระหว่างเซต หน้าที่สำคัญของมันคือการรักษาการดำเนินการไว้ ถ้าเงื่อนไขนี้ไม่เป็นจริง มันก็ไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม

ใช้สัญลักษณ์ปะปนกันระหว่างกลุ่มต่างชนิด

ในกลุ่มหนึ่ง การดำเนินการอาจเป็นการบวก ในอีกกลุ่มอาจเป็นการคูณ และอีกกลุ่มอาจเป็นการประกอบฟังก์ชัน กฎของโฮโมมอร์ฟิซึมต้องใช้การดำเนินการที่ถูกต้องในแต่ละข้าง

ทฤษฎีกลุ่มถูกนำไปใช้ที่ไหน

ทฤษฎีกลุ่มถูกใช้ทุกครั้งที่ปัญหามีโครงสร้างที่ทำซ้ำได้และย้อนกลับได้ ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ สมมาตรของรูปทรง เลขคณิตมอดูลาร์ การเรียงสับเปลี่ยน พีชคณิตเชิงเส้น และบางส่วนของฟิสิกส์

คุณไม่จำเป็นต้องใช้ตัวอย่างขั้นสูงก็ได้รับประโยชน์จากมันได้ แม้ในระดับพื้นฐาน ทฤษฎีกลุ่มก็ช่วยให้คุณมองเห็นว่าปัญหาที่ต่างกันอาจมีโครงสร้างพื้นฐานแบบเดียวกัน

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

เริ่มจาก $(\mathbb{Z}, +)$ ตรวจสอบว่าพหุคูณของ $3$ เป็นกลุ่มย่อยหรือไม่ จากนั้นทดสอบฟังก์ชัน $g(n) = n \bmod 3$ จาก $\mathbb{Z}$ ไปยัง $\mathbb{Z}_3$ และตรวจสอบว่า

$$g(a+b) = g(a) + g(b)$$

เป็นจริงแบบมอดูลาร์ $3$ หรือไม่

ถ้าคุณอยากลองต่ออีกขั้น ให้ลองคำถามเดียวกันกับการหมุนของสามเหลี่ยมด้านเท่า ตรงนั้นมักเป็นจุดที่ทฤษฎีกลุ่มเริ่มให้ความรู้สึกเหมือนเป็นเครื่องมือ มากกว่าจะเป็นแค่นิยาม