Lý thuyết nhóm — Nhóm, nhóm con và đồng cấu

Lý thuyết nhóm giải thích khi nào một tập hợp và một phép toán kết hợp với nhau theo cách ổn định. Một nhóm có bốn thành phần: tính đóng, tính kết hợp, phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo cho mỗi phần tử. Nhóm con là một nhóm nhỏ hơn nằm bên trong một nhóm lớn hơn, còn đồng cấu là một ánh xạ bảo toàn phép toán.

Nếu bạn chỉ nhớ một ví dụ, hãy dùng tập số nguyên với phép cộng. Ví dụ này thể hiện rõ định nghĩa nhóm, cho một nhóm con đơn giản và giúp ý tưởng về đồng cấu dễ kiểm tra.

Định nghĩa nhóm: bốn tiên đề

Một nhóm là một tập hợp $G$ cùng với một phép toán, thường được viết theo kiểu nhân là $ab$, sao cho bốn điều kiện sau đúng:

1. Tính đóng: nếu $a,b \in G$ thì $ab \in G$.
2. Tính kết hợp: $(ab)c = a(bc)$ với mọi $a,b,c \in G$.
3. Phần tử đơn vị: tồn tại một phần tử $e \in G$ sao cho $ea = ae = a$ với mọi $a \in G$.
4. Phần tử nghịch đảo: với mỗi $a \in G$, tồn tại một phần tử $a^{-1} \in G$ sao cho $aa^{-1} = a^{-1}a = e$.

Đó là toàn bộ định nghĩa. Chỉ cần một điều kiện không đúng thì tập hợp cùng phép toán đó không phải là một nhóm.

Vì sao định nghĩa này quan trọng

Định nghĩa này cho bạn một hệ thống trong đó bạn có thể kết hợp các phần tử, hoàn tác điều đã làm và tin rằng việc đổi cách nhóm các phần tử không làm thay đổi kết quả. Vì thế nhóm xuất hiện trong đối xứng, số học modulo, hoán vị và đại số ma trận.

Nếu bạn xem một phép toán như một bước đi hợp lệ, thì một nhóm là hệ thống trong đó các bước đi hợp lệ có thể được kết hợp, có một bước “không làm gì cả”, và mọi bước đều có thể đảo ngược.

Ví dụ: vì sao $(\mathbb{Z}, +)$ là một nhóm

Xét tập tất cả các số nguyên $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ với phép toán cộng.

Đây là một nhóm:

• Tính đóng đúng vì tổng của hai số nguyên vẫn là một số nguyên.
• Tính kết hợp đúng vì $(a+b)+c = a+(b+c)$ với các số nguyên.
• Phần tử đơn vị là $0$ vì $a+0 = 0+a = a$.
• Phần tử nghịch đảo của $a$ là $-a$ vì $a + (-a) = 0$.

Vậy $(\mathbb{Z}, +)$ là một nhóm.

Đây là điểm khởi đầu phù hợp vì nó cũng làm cho nhóm con và đồng cấu trở nên cụ thể.

Định nghĩa nhóm con với các số nguyên chẵn

Nhóm con là một tập con của một nhóm mà bản thân nó cũng là một nhóm dưới cùng phép toán đó.

Bên trong $(\mathbb{Z}, +)$, xét các số nguyên chẵn:

$$2\mathbb{Z} = \{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$$

Đây là một nhóm con của $\mathbb{Z}$ dưới phép cộng vì:

• cộng hai số nguyên chẵn cho ra một số nguyên chẵn khác
• $0$ là số chẵn, nên phần tử đơn vị vẫn có mặt
• số đối của một số nguyên chẵn vẫn là số chẵn

Vì vậy $2\mathbb{Z}$ không chỉ là một tập con. Nó giữ lại cùng các quy tắc đại số như nhóm lớn hơn.

Đó là ý chính của nhóm con: nó là một thế giới nhỏ hơn nhưng khép kín, nơi cùng phép toán vẫn hoạt động.

Định nghĩa đồng cấu: bảo toàn phép toán

Đồng cấu là một hàm giữa các nhóm có tính chất bảo toàn phép toán.

Nếu $f : G \to H$ là một đồng cấu, thì

$$f(ab) = f(a)f(b)$$

với mọi $a,b \in G$.

Các ký hiệu cụ thể phụ thuộc vào các nhóm đang xét. Nếu phép toán là phép cộng, điều kiện tương tự thường được viết là

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

Ý nghĩa vẫn như nhau: hoặc kết hợp trước rồi ánh xạ, hoặc ánh xạ trước rồi kết hợp. Một đồng cấu làm cho hai cách đó cho cùng kết quả.

Ví dụ có lời giải: ánh xạ tính chẵn lẻ từ $\mathbb{Z}$ đến $\mathbb{Z}_2$

Định nghĩa $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2$ bởi

$$f(n) = \text{phần dư của } n \text{ khi chia cho } 2$$

Ở đây $\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$ với phép cộng modulo $2$.

Hàm này ghi lại một số nguyên là chẵn hay lẻ. Để kiểm tra nó có phải là đồng cấu hay không, hãy so sánh hai vế:

$$f(a+b)$$

là tính chẵn lẻ của tổng, còn

$$f(a) + f(b)$$

là tổng của hai giá trị chẵn lẻ theo modulo $2$.

Hai biểu thức này trùng nhau với mọi số nguyên $a$ và $b$, nên

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

trong $\mathbb{Z}_2$.

Ví dụ, nếu $a=3$ và $b=5$, thì

$$f(3) = 1,\qquad f(5) = 1,\qquad f(3+5) = f(8) = 0$$

và

$$f(3)+f(5) = 1+1 = 0 \pmod{2}$$

Vậy ánh xạ này bảo toàn phép toán của nhóm.

Những lỗi thường gặp trong lý thuyết nhóm

Quên rằng phép toán là một phần của dữ liệu

Nói rằng “các số nguyên tạo thành một nhóm” là chưa đầy đủ nếu phép toán chưa được nêu rõ. Các số nguyên tạo thành một nhóm dưới phép cộng, nhưng không tạo thành một nhóm dưới phép nhân, vì hầu hết các số nguyên không có nghịch đảo nhân nằm trong $\mathbb{Z}$.

Cho rằng mọi tập con đều là nhóm con

Một tập con phải chứa phần tử đơn vị, đóng dưới phép toán và chứa các phần tử nghịch đảo. Ví dụ, các số nguyên dương không phải là một nhóm con của $(\mathbb{Z}, +)$ vì chúng không chứa $0$ và cũng không chứa các nghịch đảo cộng.

Xem đồng cấu như những hàm tùy ý

Đồng cấu không phải chỉ là một ánh xạ bất kỳ giữa các tập hợp. Nhiệm vụ cốt lõi của nó là bảo toàn phép toán. Nếu điều kiện đó không đúng thì nó không phải là đồng cấu nhóm.

Trộn lẫn ký hiệu giữa các nhóm khác nhau

Trong một nhóm, phép toán có thể là cộng; trong nhóm khác, có thể là nhân; và trong nhóm khác nữa, có thể là hợp thành. Quy tắc đồng cấu phải dùng đúng phép toán ở mỗi vế.

Lý thuyết nhóm được dùng ở đâu

Lý thuyết nhóm được dùng bất cứ khi nào một bài toán có cấu trúc lặp lại và đảo ngược được. Những ví dụ quen thuộc gồm có đối xứng của hình, số học modulo, hoán vị, đại số tuyến tính và một số phần của vật lý.

Bạn không cần các ví dụ nâng cao mới thấy nó hữu ích. Ngay ở mức cơ bản, lý thuyết nhóm giúp bạn nhận ra khi nào những bài toán khác nhau thực ra có cùng một cấu trúc nền tảng.

Hãy thử một bài tương tự

Bắt đầu với $(\mathbb{Z}, +)$. Kiểm tra xem các bội của $3$ có tạo thành một nhóm con hay không. Sau đó xét ánh xạ $g(n) = n \bmod 3$ từ $\mathbb{Z}$ đến $\mathbb{Z}_3$ và kiểm tra xem

$$g(a+b) = g(a) + g(b)$$

có đúng theo modulo $3$ hay không.

Nếu muốn đi thêm một bước, hãy thử các câu hỏi tương tự với các phép quay của một tam giác đều. Đó thường là lúc lý thuyết nhóm bắt đầu giống một công cụ hơn là chỉ một định nghĩa.