Grup Teorisi — Gruplar, Alt Gruplar ve Homomorfizmalar

Grup teorisi, bir küme ile bir işlemin ne zaman kararlı bir yapı oluşturacak şekilde birlikte çalıştığını açıklar. Bir grubun dört bileşeni vardır: kapanış, birleşme, birim eleman ve her eleman için bir ters. Alt grup, daha büyük bir grubun içindeki daha küçük bir gruptur; homomorfizma ise işlemi koruyan bir dönüşümdür.

Yalnızca tek bir örnek hatırlayacaksanız, toplama altındaki tam sayıları kullanın. Bu örnek grup tanımını gösterir, açık bir alt grup verir ve homomorfizma fikrini test etmeyi kolaylaştırır.

Grup tanımı: dört aksiyom

Bir grup, $G$ kümesi ile birlikte, çoğu zaman çarpımsal olarak $ab$ şeklinde yazılan bir işlemden oluşur; öyle ki şu dört koşul sağlanır:

1. Kapanış: eğer $a,b \in G$ ise, o zaman $ab \in G$.
2. Birleşme: tüm $a,b,c \in G$ için $(ab)c = a(bc)$.
3. Birim eleman: her $a \in G$ için $ea = ae = a$ olacak şekilde bir $e \in G$ elemanı vardır.
4. Tersler: her $a \in G$ için, $aa^{-1} = a^{-1}a = e$ olacak şekilde bir $a^{-1} \in G$ elemanı vardır.

Tam tanım budur. Bu koşullardan biri bile sağlanmazsa, o küme o işlemle birlikte bir grup değildir.

Tanım neden önemlidir?

Bu tanım size elemanları birleştirebildiğiniz, yaptığınızı geri alabildiğiniz ve yeniden gruplayınca sonucun değişmeyeceğine güvenebildiğiniz bir sistem verir. Bu yüzden gruplar simetri, modüler aritmetik, permütasyonlar ve matris cebirinde karşımıza çıkar.

Bir işlemi yasal bir hamle gibi düşünürseniz, grup; yasal hamlelerin birleştirilebildiği, hiçbir şey yapmayan bir hamlenin bulunduğu ve her hamlenin tersine çevrilebildiği bir sistemdir.

Örnek: neden $(\mathbb{Z}, +)$ bir gruptur?

İşlem olarak toplamayı alıp tüm tam sayılar kümesini ele alalım: $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$.

Bu bir gruptur:

• Kapanış sağlanır; çünkü iki tam sayının toplamı yine bir tam sayıdır.
• Birleşme sağlanır; çünkü tam sayılar için $(a+b)+c = a+(b+c)$.
• Birim eleman $0$'dır; çünkü $a+0 = 0+a = a$.
• $a$'nın tersi $-a$'dır; çünkü $a + (-a) = 0$.

Dolayısıyla $(\mathbb{Z}, +)$ bir gruptur.

Bu örnek doğru başlangıç noktasıdır; çünkü alt grupları ve homomorfizmaları da somut hale getirir.

Çift tam sayılarla alt grup tanımı

Alt grup, bir grubun alt kümesi olup aynı işlem altında kendisi de grup olan yapıdır.

$(\mathbb{Z}, +)$ içinde çift tam sayıları düşünelim:

$$2\mathbb{Z} = \{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$$

Bu küme, toplama altında $\mathbb{Z}$'nin bir alt grubudur; çünkü:

• iki çift tam sayının toplamı yine çift bir tam sayıdır
• $0$ çifttir, dolayısıyla birim eleman hâlâ kümenin içindedir
• çift bir tam sayının negatifi yine çifttir

Yani $2\mathbb{Z}$ yalnızca bir alt küme değildir. Daha büyük grubun aynı cebirsel kurallarını korur.

Alt grubun temel fikri budur: aynı işlemin hâlâ çalıştığı, daha küçük ve kapalı bir dünya olması.

Homomorfizma tanımı: işlemi korumak

Homomorfizma, gruplar arasında işlemi koruyan bir fonksiyondur.

Eğer $f : G \to H$ bir homomorfizma ise, o zaman

$$f(ab) = f(a)f(b)$$

tüm $a,b \in G$ için sağlanır.

Kullanılan semboller, ilgili gruplara göre değişir. İşlem toplama ise, aynı koşul çoğu zaman şöyle yazılır:

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

Ana fikir aynıdır: önce birleştirip sonra eşlemek ya da önce eşleyip sonra birleştirmek. Bir homomorfizma bu iki yolun aynı sonucu vermesini sağlar.

Çözümlü örnek: $\mathbb{Z}$'den $\mathbb{Z}_2$'ye parite dönüşümü

$f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2$ fonksiyonunu şöyle tanımlayalım:

$$f(n) = n \text{ sayısının } 2 \text{ ile bölümünden kalan}$$

Burada $\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$ ve işlem $2$'ye göre modüler toplamadır.

Bu fonksiyon, bir tam sayının çift mi tek mi olduğunu kaydeder. Bunun bir homomorfizma olduğunu kontrol etmek için iki tarafı karşılaştıralım:

$$f(a+b)$$

toplamın paritesidir; buna karşılık

$$f(a) + f(b)$$

iki pariteyi mod $2$'ye göre toplar.

Bunlar tüm tam sayılar $a$ ve $b$ için aynıdır; dolayısıyla

$$f(a+b) = f(a) + f(b)$$

eşitliği $\mathbb{Z}_2$ içinde sağlanır.

Örneğin $a=3$ ve $b=5$ ise,

$$f(3) = 1,\qquad f(5) = 1,\qquad f(3+5) = f(8) = 0$$

ve

$$f(3)+f(5) = 1+1 = 0 \pmod{2}$$

olur.

Yani bu dönüşüm grup işlemini korur.

Grup teorisinde yaygın hatalar

İşlemin verinin bir parçası olduğunu unutmak

"Tam sayılar bir grup oluşturur" demek, işlem açık değilse eksik bir ifadedir. Tam sayılar toplama altında grup oluşturur; ama çarpma altında oluşturmaz, çünkü çoğu tam sayının $\mathbb{Z}$ içinde çarpmaya göre tersi yoktur.

Her alt kümenin alt grup olduğunu sanmak

Bir alt küme, birim elemanı içermeli, işlem altında kapalı kalmalı ve tersleri de içermelidir. Örneğin pozitif tam sayılar, $(\mathbb{Z}, +)$'nin bir alt grubu değildir; çünkü $0$'ı içermezler ve toplamsal tersleri de içermezler.

Homomorfizmaları rastgele fonksiyonlar gibi görmek

Homomorfizma, kümeler arasında herhangi bir dönüşüm değildir. Asıl görevi işlemi korumaktır. Bu koşul sağlanmazsa, o fonksiyon bir grup homomorfizması değildir.

Farklı gruplardaki gösterimleri karıştırmak

Bir grupta işlem toplama, başka birinde çarpma, bir diğerinde bileşke olabilir. Homomorfizma kuralı her iki tarafta da doğru işlemi kullanmalıdır.

Grup teorisi nerelerde kullanılır?

Grup teorisi, bir problem tekrar edilebilir ve tersine çevrilebilir bir yapıya sahip olduğunda kullanılır. Yaygın örnekler arasında şekillerin simetrileri, modüler aritmetik, permütasyonlar, lineer cebir ve fiziğin bazı alanları vardır.

Bundan yararlanmak için ileri düzey örneklere ihtiyacınız yoktur. En temel düzeyde bile grup teorisi, farklı problemlerin aynı temel yapıyı paylaştığını fark etmenize yardımcı olur.

Benzer bir problem deneyin

$(\mathbb{Z}, +)$ ile başlayın. $3$'ün katlarının bir alt grup oluşturup oluşturmadığını kontrol edin. Sonra $\mathbb{Z}$'den $\mathbb{Z}_3$'e $g(n) = n \bmod 3$ dönüşümünü test edin ve

$$g(a+b) = g(a) + g(b)$$

eşitliğinin mod $3$'te sağlanıp sağlanmadığını doğrulayın.

Bir adım daha ileri gitmek isterseniz, aynı soruları eşkenar bir üçgenin dönmeleri için deneyin. Grup teorisinin bir tanımdan çok bir araç gibi hissettirmeye başladığı yer genellikle burasıdır.