Số mũ — Quy tắc số mũ & số mũ phân số

Số mũ chính là chỉ số. Chúng cho biết một cơ số được dùng làm thừa số bao nhiêu lần, và các quy tắc số mũ giúp bạn rút gọn lũy thừa mà không cần khai triển tất cả. Số mũ phân số mở rộng cùng ý tưởng đó sang căn thức, nhưng biểu thức vẫn phải có nghĩa.

Với số mũ nguyên dương, $a^n$ nghĩa là nhân $a$ với chính nó $n$ lần. Ví dụ, $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Các quy tắc số mũ nói gì

Đây là những quy tắc chính mà học sinh dùng thường xuyên nhất:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$

Các điều kiện này rất quan trọng. Bạn chỉ có thể cộng hoặc trừ số mũ trực tiếp khi cơ số giống nhau, và quy tắc thương cần mẫu số khác 0.

Cùng cơ số: nhân thì cộng, chia thì trừ

Nếu cơ số giống nhau, phép nhân sẽ gộp các nhóm cùng một thừa số:

$$x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$$

Phép chia sẽ khử các thừa số chung:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5 \quad (y \ne 0)$$

Đây là cách nhanh nhất để tránh một lỗi thường gặp: $a^m + a^n$ không giống $a^{m+n}$. Quy tắc cộng số mũ áp dụng cho phép nhân, không phải phép cộng.

Dấu ngoặc làm thay đổi quy tắc

Khi một lũy thừa lại được nâng lên một lũy thừa khác, ta nhân các số mũ:

$$(z^3)^4 = z^{12}$$

Khi cả một tích hoặc thương nằm trong ngoặc, số mũ bên ngoài áp dụng cho từng thừa số:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

Số mũ 0, âm và phân số

Với mọi cơ số khác 0,

$$a^0 = 1$$

và

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Số mũ âm không có nghĩa là kết quả âm. Nó có nghĩa là lấy nghịch đảo.

Số mũ phân số nối số mũ với căn thức:

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$ $$a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Trong tập số thực, căn thức đó phải tồn tại. Nếu $n$ chẵn, bạn cần $a \ge 0$. Nếu $n$ lẻ, giá trị âm của $a$ vẫn được phép. Vì vậy $16^{1/2} = 4$, còn $(-16)^{1/2}$ không phải là số thực.

Ví dụ mẫu: rút gọn $16^{3/4} \cdot 16^{-1/2}$

Bắt đầu với quy tắc cùng cơ số:

$$16^{3/4} \cdot 16^{-1/2} = 16^{3/4 - 1/2} = 16^{1/4}$$

Bây giờ viết số mũ phân số dưới dạng căn thức:

$$16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$$

Vậy toàn bộ biểu thức rút gọn thành $2$. Đây là một mẫu rất tốt cho nhiều câu hỏi trong bài kiểm tra: nếu cơ số giống nhau thì gộp số mũ trước, rồi mới viết lại số mũ phân số còn lại.

Các lỗi thường gặp với số mũ

Dùng quy tắc cho phép cộng

$$a^m + a^n \ne a^{m+n}$$

Chỉ phép nhân mới cho phép bạn cộng số mũ trực tiếp.

Quên điều kiện cùng cơ số

$$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3,$$

không phải $6^6$. Các số mũ không được cộng vì các cơ số ban đầu khác nhau.

Hiểu sai số mũ âm

$$x^{-2} = \frac{1}{x^2},$$

không phải $-x^2$.

Bỏ qua miền xác định của số mũ phân số

Trong đại số trên tập số thực, $(-9)^{1/2}$ không phải là số thực. Trước khi dùng quy tắc về căn thức, hãy kiểm tra xem căn đó có tồn tại trong hệ số bạn đang dùng hay không.

Số mũ được dùng ở đâu

Số mũ xuất hiện trong đại số, ký hiệu khoa học, tăng trưởng và suy giảm theo hàm mũ, và logarit. Chúng hữu ích bất cứ khi nào có phép nhân lặp lại, sự co giãn, hoặc lũy thừa của $10$.

Tự thử một phiên bản của bạn

Hãy thử rút gọn $x^5 \cdot x^{-2}$, $\frac{a^7}{a^3}$, và $81^{3/4}$. Với mỗi biểu thức, hãy nói bạn đã dùng quy tắc nào trước và kiểm tra điều kiện để bước đó hợp lệ.