Exposants — Lois des exposants et exposants fractionnaires

Les indices sont des exposants. Ils indiquent combien de fois une base est utilisée comme facteur, et les lois des exposants permettent de simplifier des puissances sans tout développer. Les indices fractionnaires prolongent la même idée aux racines, mais l’expression doit toujours être définie.

Pour un exposant entier positif, $a^n$ signifie multiplier $a$ par lui-même $n$ fois. Par exemple, $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Ce que disent les lois des exposants

Voici les règles principales que les élèves utilisent le plus souvent :

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$

Les conditions sont importantes. On ne peut additionner ou soustraire directement les exposants que lorsque la base est la même, et les règles sur les quotients exigent un dénominateur non nul.

Même base : on additionne en multipliant, on soustrait en divisant

Si la base est la même, la multiplication regroupe des facteurs identiques :

$$x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$$

La division enlève les facteurs communs :

$$\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5 \quad (y \ne 0)$$

C’est le moyen le plus rapide d’éviter une erreur fréquente : $a^m + a^n$ n’est pas la même chose que $a^{m+n}$. La règle qui consiste à additionner les exposants s’applique à la multiplication, pas à l’addition.

Les parenthèses changent la règle

Quand une puissance est elle-même élevée à une autre puissance, on multiplie les exposants :

$$(z^3)^4 = z^{12}$$

Quand tout un produit ou quotient est entre parenthèses, l’exposant extérieur s’applique à chaque facteur :

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

Exposants nuls, négatifs et fractionnaires

Pour toute base non nulle,

$$a^0 = 1$$

et

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Un exposant négatif ne signifie pas que le résultat est négatif. Il signifie qu’il faut prendre l’inverse.

Les exposants fractionnaires relient les exposants aux racines :

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$ $$a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Dans $\mathbb{R}$, la racine doit exister. Si $n$ est pair, il faut $a \ge 0$. Si $n$ est impair, des valeurs négatives de $a$ sont autorisées. Ainsi, $16^{1/2} = 4$, mais $(-16)^{1/2}$ n’est pas un nombre réel.

Exemple corrigé : simplifier $16^{3/4} \cdot 16^{-1/2}$

On commence par la règle des mêmes bases :

$$16^{3/4} \cdot 16^{-1/2} = 16^{3/4 - 1/2} = 16^{1/4}$$

On réécrit ensuite l’exposant fractionnaire comme une racine :

$$16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$$

Donc l’expression entière se simplifie en $2$. C’est un bon modèle pour beaucoup de questions d’examen : on combine d’abord les exposants si la base est la même, puis on réécrit l’exposant fractionnaire restant.

Erreurs fréquentes avec les exposants

Utiliser la loi sur une addition

$$a^m + a^n \ne a^{m+n}$$

Seule la multiplication permet d’additionner directement les exposants.

Oublier la condition de même base

$$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3,$$

et non $6^6$. On n’additionne pas les exposants parce que les bases de départ étaient différentes.

Mal interpréter un exposant négatif

$$x^{-2} = \frac{1}{x^2},$$

et non $-x^2$.

Ignorer le domaine d’un exposant fractionnaire

En algèbre dans $\mathbb{R}$, $(-9)^{1/2}$ n’est pas réel. Avant d’utiliser une règle sur les racines, vérifiez que cette racine existe bien dans l’ensemble de nombres utilisé.

Où les exposants sont utilisés

Les exposants apparaissent en algèbre, en notation scientifique, dans la croissance et la décroissance exponentielles, et dans les logarithmes. Ils sont utiles dès qu’il y a des multiplications répétées, des changements d’échelle ou des puissances de $10$.

Essayez votre propre version

Essayez de simplifier $x^5 \cdot x^{-2}$, $\frac{a^7}{a^3}$ et $81^{3/4}$. Pour chacun, indiquez d’abord quelle loi vous utilisez et vérifiez la condition qui rend cette étape valide.