指数——指数运算律与分数指数

指数就是幂。它表示一个底数作为因数重复相乘了多少次，而指数运算律告诉你，怎样在不把所有内容都展开的情况下化简幂。分数指数把同样的思想推广到根式，但前提仍然是这个式子有定义。

当指数是正整数时，$a^n$ 表示把 $a$ 自身相乘 $n$ 次。例如，$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$。

指数运算律说明了什么

下面是学生最常用的几条规则：

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$

这些条件很重要。只有当底数相同时，才能直接对指数相加或相减；商的运算规则还要求分母不为零。

底数相同：乘法时相加，除法时相减

如果底数相同，乘法就是把相同因数的组数合并：

$$x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$$

除法则是约去相同因数：

$$\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5 \quad (y \ne 0)$$

这是避免常见错误的最快方法：$a^m + a^n$ 不等于 $a^{m+n}$。指数相加这条规则适用于乘法，不适用于加法。

括号会改变规则

当一个幂再乘方时，要把指数相乘：

$$(z^3)^4 = z^{12}$$

当整个乘积或商都在括号里时，外面的指数要作用到每一个因数上：

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

零指数、负指数和分数指数

对于任意非零底数，

$$a^0 = 1$$

并且

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

负指数并不表示结果是负数。它表示要取倒数。

分数指数把指数和根式联系起来：

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$ $$a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

在实数范围内，这个根必须存在。如果 $n$ 是偶数，就需要 $a \ge 0$。如果 $n$ 是奇数，则允许 $a$ 取负值。所以 $16^{1/2} = 4$，但 $(-16)^{1/2}$ 不是实数。

例题：化简 $16^{3/4} \cdot 16^{-1/2}$

先用同底数运算律：

$$16^{3/4} \cdot 16^{-1/2} = 16^{3/4 - 1/2} = 16^{1/4}$$

再把分数指数改写成根式：

$$16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$$

所以整个式子化简后等于 $2$。这类题很有代表性：如果底数相同，先合并指数；再把剩下的分数指数改写成根式。

指数中的常见错误

把运算律用到加法上

$$a^m + a^n \ne a^{m+n}$$

只有乘法才能直接把指数相加。

忘记“底数相同”这个条件

$$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3,$$

不是 $6^6$。因为原来的底数不同，所以不能把指数相加。

误解负指数

$$x^{-2} = \frac{1}{x^2},$$

不是 $-x^2$。

忽略分数指数的定义域

在实数代数中，$(-9)^{1/2}$ 不是实数。在使用根式规则之前，先检查这个根在你所使用的数系中是否存在。

指数用在哪里

指数会出现在代数、科学记数法、指数增长与衰减以及对数中。只要涉及重复乘法、倍数变化或 $10$ 的幂，它都很有用。

自己试一试

试着化简 $x^5 \cdot x^{-2}$、$\frac{a^7}{a^3}$ 和 $81^{3/4}$。对每一道题，都说出你先用了哪条运算律，并检查这一步成立所需的条件。