指数法則 — 指数の法則と分数指数

指数とは、べき乗の指数のことです。底が何回かけられているかを表し、指数法則を使うと、いちいち展開しなくてもべきの式を簡単にできます。分数指数も同じ考え方を根に広げたものですが、式がきちんと定義されている必要があります。

正の整数の指数について、$a^n$ は $a$ を $n$ 回かけることを意味します。たとえば、$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ です。

指数法則の内容

生徒が最もよく使う基本ルールは次のとおりです。

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$

条件は重要です。指数をそのまま足したり引いたりできるのは、底が同じときだけです。また、商の法則では分母が 0 でないことが必要です。

底が同じとき：かけ算では足し算、割り算では引き算

底が同じなら、かけ算では同じ因数のまとまりを合わせられます。

$$x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$$

割り算では共通の因数を取り除きます。

$$\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5 \quad (y \ne 0)$$

これは、よくあるミスを避ける最も速い方法でもあります。$a^m + a^n$ は $a^{m+n}$ と同じではありません。指数を足すルールは、足し算ではなくかけ算に対するものです。

かっこがあるとルールが変わる

べき乗をさらにべき乗するときは、指数をかけます。

$$(z^3)^4 = z^{12}$$

積や商全体がかっこの中にあるときは、外側の指数がそれぞれの因数にかかります。

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

0乗、負の指数、分数指数

底が 0 でない任意の数について、

$$a^0 = 1$$

また、

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

です。

負の指数は、答えが負になるという意味ではありません。逆数をとるという意味です。

分数指数は、指数と根を結びつけます。

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$ $$a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

実数の範囲では、その根が存在しなければなりません。$n$ が偶数なら $a \ge 0$ が必要です。$n$ が奇数なら、$a$ が負でもかまいません。したがって、$16^{1/2} = 4$ ですが、$(-16)^{1/2}$ は実数ではありません。

計算例：$16^{3/4} \cdot 16^{-1/2}$ を簡単にする

まず、底が同じときのルールを使います。

$$16^{3/4} \cdot 16^{-1/2} = 16^{3/4 - 1/2} = 16^{1/4}$$

次に、分数指数を根で書き換えます。

$$16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$$

したがって、式全体は $2$ に簡単になります。これは多くの試験問題で役立つ考え方です。底が同じなら先に指数をまとめ、そのあと残った分数指数を根として書き換えます。

指数でよくあるミス

足し算に法則を使ってしまう

$$a^m + a^n \ne a^{m+n}$$

指数をそのまま足せるのは、かけ算のときだけです。

底が同じという条件を忘れる

$$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3,$$

であって、$6^6$ ではありません。もとの底が異なるので、指数は足しません。

負の指数を読み違える

$$x^{-2} = \frac{1}{x^2},$$

であって、$-x^2$ ではありません。

分数指数の定義域を無視する

実数の代数では、$(-9)^{1/2}$ は実数ではありません。根のルールを使う前に、その数の範囲でその根が存在するかを確認しましょう。

指数が使われる場面

指数は、代数、科学的記数法、指数関数的な増加と減少、対数などで現れます。くり返しかける場面、拡大・縮小、$10$ のべきが出てくる場面で特に役立ちます。

自分でもやってみよう

$x^5 \cdot x^{-2}$、$\frac{a^7}{a^3}$、$81^{3/4}$ を簡単にしてみましょう。それぞれについて、最初にどの法則を使ったかを言い、その手順が成り立つ条件も確認してみてください。