Potenzen — Potenzgesetze & gebrochene Exponenten

Potenzen sind Exponenten. Sie zeigen, wie oft eine Basis als Faktor verwendet wird, und mit den Potenzgesetzen kannst du Potenzen vereinfachen, ohne alles auszumultiplizieren. Gebrochene Exponenten erweitern dieselbe Idee auf Wurzeln, aber der Ausdruck muss trotzdem definiert sein.

Für einen positiven ganzzahligen Exponenten bedeutet $a^n$, dass man $a$ $n$-mal mit sich selbst multipliziert. Zum Beispiel gilt $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Was die Potenzgesetze aussagen

Das sind die wichtigsten Regeln, die Schülerinnen und Schüler am häufigsten verwenden:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$

Die Bedingungen sind wichtig. Du darfst Exponenten nur dann direkt addieren oder subtrahieren, wenn die Basis gleich ist, und bei Quotienten muss der Nenner ungleich null sein.

Gleiche Basis: beim Multiplizieren addieren, beim Dividieren subtrahieren

Wenn die Basis gleich ist, fasst die Multiplikation Gruppen desselben Faktors zusammen:

$$x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$$

Beim Dividieren fallen gemeinsame Faktoren weg:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5 \quad (y \ne 0)$$

Das ist der schnellste Weg, einen häufigen Fehler zu vermeiden: $a^m + a^n$ ist nicht dasselbe wie $a^{m+n}$. Die Regel „Exponenten addieren“ gilt für Multiplikation, nicht für Addition.

Klammern ändern die Regel

Wenn eine Potenz noch einmal potenziert wird, multiplizierst du die Exponenten:

$$(z^3)^4 = z^{12}$$

Wenn ein ganzes Produkt oder ein ganzer Quotient in Klammern steht, wirkt der äußere Exponent auf jeden Faktor:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

Nullte, negative und gebrochene Exponenten

Für jede von null verschiedene Basis gilt:

$$a^0 = 1$$

und

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Ein negativer Exponent bedeutet kein negatives Ergebnis. Er bedeutet, dass du den Kehrwert bilden sollst.

Gebrochene Exponenten verbinden Potenzen mit Wurzeln:

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$ $$a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Bei reellen Zahlen muss die Wurzel existieren. Wenn $n$ gerade ist, brauchst du $a \ge 0$. Wenn $n$ ungerade ist, sind auch negative Werte von $a$ erlaubt. Daher ist $16^{1/2} = 4$, aber $(-16)^{1/2}$ keine reelle Zahl.

Beispiel: Vereinfache $16^{3/4} \cdot 16^{-1/2}$

Beginne mit der Regel für gleiche Basis:

$$16^{3/4} \cdot 16^{-1/2} = 16^{3/4 - 1/2} = 16^{1/4}$$

Schreibe nun den gebrochenen Exponenten als Wurzel:

$$16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$$

Der ganze Ausdruck vereinfacht sich also zu $2$. Das ist ein gutes Muster für viele Prüfungsaufgaben: Zuerst die Exponenten zusammenfassen, wenn die Basis gleich ist, und danach den verbleibenden gebrochenen Exponenten umschreiben.

Häufige Fehler bei Potenzen

Das Gesetz bei einer Addition anwenden

$$a^m + a^n \ne a^{m+n}$$

Nur bei der Multiplikation darfst du Exponenten direkt addieren.

Die Bedingung „gleiche Basis“ vergessen

$$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3,$$

nicht $6^6$. Die Exponenten werden nicht addiert, weil die ursprünglichen Basen verschieden waren.

Einen negativen Exponenten falsch lesen

$$x^{-2} = \frac{1}{x^2},$$

nicht $-x^2$.

Den Definitionsbereich bei einem gebrochenen Exponenten ignorieren

In der Algebra über den reellen Zahlen ist $(-9)^{1/2}$ nicht reell. Bevor du eine Wurzelregel verwendest, prüfe, ob diese Wurzel im verwendeten Zahlbereich existiert.

Wo Potenzen verwendet werden

Potenzen kommen in der Algebra, in der wissenschaftlichen Schreibweise, bei exponentiellem Wachstum und Zerfall sowie bei Logarithmen vor. Sie sind nützlich, sobald wiederholte Multiplikation, Skalierung oder Zehnerpotenzen auftreten.

Probiere deine eigene Version

Versuche, $x^5 \cdot x^{-2}$, $\frac{a^7}{a^3}$ und $81^{3/4}$ zu vereinfachen. Sage bei jedem Beispiel, welches Gesetz du zuerst verwendet hast, und prüfe die Bedingung, die diesen Schritt erlaubt.