Potęgi — prawa działań na potęgach i wykładniki ułamkowe

Potęgi to wykładniki. Pokazują, ile razy dana podstawa występuje jako czynnik, a prawa działań na potęgach mówią, jak upraszczać potęgi bez rozpisywania wszystkiego. Wykładniki ułamkowe rozszerzają tę samą ideę na pierwiastki, ale wyrażenie nadal musi być określone.

Dla dodatniego całkowitego wykładnika $a^n$ oznacza mnożenie $a$ przez siebie $n$ razy. Na przykład $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Co mówią prawa działań na potęgach

To najważniejsze reguły, których uczniowie używają najczęściej:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$

Warunki mają znaczenie. Wykładniki można bezpośrednio dodawać lub odejmować tylko wtedy, gdy podstawa jest taka sama, a reguły dla ilorazu wymagają niezerowego mianownika.

Ta sama podstawa: dodaj przy mnożeniu, odejmij przy dzieleniu

Jeśli podstawa jest taka sama, mnożenie łączy grupy tych samych czynników:

$$x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$$

Dzielenie usuwa wspólne czynniki:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5 \quad (y \ne 0)$$

To najszybszy sposób, by uniknąć częstego błędu: $a^m + a^n$ nie jest tym samym co $a^{m+n}$. Reguła dodawania wykładników dotyczy mnożenia, a nie dodawania.

Nawiasy zmieniają regułę

Gdy potęga jest podnoszona do kolejnej potęgi, mnożymy wykładniki:

$$(z^3)^4 = z^{12}$$

Gdy cały iloczyn lub iloraz jest w nawiasie, zewnętrzny wykładnik działa na każdy czynnik:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

Wykładnik zerowy, ujemny i ułamkowy

Dla każdej niezerowej podstawy

$$a^0 = 1$$

oraz

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Ujemny wykładnik nie oznacza wyniku ujemnego. Oznacza, że trzeba wziąć odwrotność.

Wykładniki ułamkowe łączą potęgi z pierwiastkami:

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$ $$a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

W liczbach rzeczywistych taki pierwiastek musi istnieć. Jeśli $n$ jest parzyste, potrzebujemy $a \ge 0$. Jeśli $n$ jest nieparzyste, ujemne wartości $a$ są dozwolone. Dlatego $16^{1/2} = 4$, ale $(-16)^{1/2}$ nie jest liczbą rzeczywistą.

Przykład: uprość $16^{3/4} \cdot 16^{-1/2}$

Zacznij od reguły dla tej samej podstawy:

$$16^{3/4} \cdot 16^{-1/2} = 16^{3/4 - 1/2} = 16^{1/4}$$

Teraz zapisz wykładnik ułamkowy jako pierwiastek:

$$16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$$

Zatem całe wyrażenie upraszcza się do $2$. To dobry model dla wielu zadań egzaminacyjnych: najpierw połącz wykładniki, jeśli podstawa jest taka sama, a potem przepisz pozostały wykładnik ułamkowy.

Typowe błędy przy potęgach

Stosowanie prawa do dodawania

$$a^m + a^n \ne a^{m+n}$$

Tylko mnożenie pozwala bezpośrednio dodawać wykładniki.

Zapominanie o warunku tej samej podstawy

$$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3,$$

a nie $6^6$. Wykładniki nie są dodawane, ponieważ początkowe podstawy były różne.

Błędne odczytanie ujemnego wykładnika

$$x^{-2} = \frac{1}{x^2},$$

a nie $-x^2$.

Ignorowanie dziedziny wykładnika ułamkowego

W algebrze liczb rzeczywistych $(-9)^{1/2}$ nie jest liczbą rzeczywistą. Zanim użyjesz reguły z pierwiastkiem, sprawdź, czy ten pierwiastek istnieje w układzie liczbowym, którego używasz.

Gdzie używa się potęg

Potęgi pojawiają się w algebrze, zapisie naukowym, wzroście i zaniku wykładniczym oraz logarytmach. Są przydatne wszędzie tam, gdzie występuje wielokrotne mnożenie, skalowanie albo potęgi liczby $10$.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj uprościć $x^5 \cdot x^{-2}$, $\frac{a^7}{a^3}$ oraz $81^{3/4}$. W każdym przypadku wskaż, którego prawa używasz najpierw, i sprawdź warunek, który sprawia, że ten krok jest poprawny.