지수법칙 — 지수의 법칙과 분수 지수

지수(indices)는 exponent를 뜻합니다. 밑이 몇 번 곱해지는지를 나타내며, 지수법칙을 이용하면 전개하지 않고도 거듭제곱을 간단히 정리할 수 있습니다. 분수 지수도 같은 생각을 근으로 확장한 것이지만, 식이 실제로 정의되어 있어야 합니다.

양의 정수 지수에서 $a^n$은 $a$를 자기 자신과 $n$번 곱한다는 뜻입니다. 예를 들어 $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$입니다.

지수법칙이 말하는 것

학생들이 가장 자주 쓰는 핵심 규칙은 다음과 같습니다:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$

조건은 중요합니다. 지수를 바로 더하거나 뺄 수 있는 것은 밑이 같을 때뿐이고, 몫의 법칙에서는 분모가 0이 아니어야 합니다.

밑이 같을 때: 곱하면 더하고, 나누면 뺍니다

밑이 같으면 곱셈은 같은 인수의 묶음을 합치는 것입니다:

$$x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$$

나눗셈은 공통 인수를 없애는 것입니다:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5 \quad (y \ne 0)$$

이것은 흔한 실수를 피하는 가장 빠른 방법이기도 합니다. $a^m + a^n$은 $a^{m+n}$과 같지 않습니다. 지수를 더하는 법칙은 덧셈이 아니라 곱셈에만 적용됩니다.

괄호가 있으면 규칙이 달라집니다

거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱합니다:

$$(z^3)^4 = z^{12}$$

전체 곱이나 몫이 괄호 안에 있으면, 바깥의 지수는 각 인수에 모두 적용됩니다:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

0지수, 음의 지수, 분수 지수

밑이 0이 아니면 항상

$$a^0 = 1$$

이고,

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

입니다.

음의 지수가 나온다고 해서 값이 음수가 된다는 뜻은 아닙니다. 역수를 취하라는 뜻입니다.

분수 지수는 지수와 근을 연결합니다:

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$ $$a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

실수 범위에서는 그 근이 존재해야 합니다. $n$이 짝수이면 $a \ge 0$이어야 하고, $n$이 홀수이면 $a$가 음수여도 됩니다. 따라서 $16^{1/2} = 4$이지만, $(-16)^{1/2}$는 실수가 아닙니다.

예제: $16^{3/4} \cdot 16^{-1/2}$ 간단히 하기

먼저 밑이 같은 경우의 법칙을 씁니다:

$$16^{3/4} \cdot 16^{-1/2} = 16^{3/4 - 1/2} = 16^{1/4}$$

이제 분수 지수를 근으로 바꿉니다:

$$16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$$

따라서 전체 식은 $2$로 간단해집니다. 이런 방식은 많은 시험 문제에 그대로 적용됩니다. 밑이 같으면 먼저 지수를 합치고, 그다음 남은 분수 지수를 근으로 바꾸면 됩니다.

지수에서 자주 하는 실수

덧셈에 법칙을 적용하는 경우

$$a^m + a^n \ne a^{m+n}$$

지수를 바로 더할 수 있는 것은 곱셈일 때뿐입니다.

밑이 같아야 한다는 조건을 잊는 경우

$$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3,$$

이지 $6^6$이 아닙니다. 처음의 밑이 서로 달랐기 때문에 지수를 더하지 않습니다.

음의 지수를 잘못 읽는 경우

$$x^{-2} = \frac{1}{x^2},$$

이지 $-x^2$가 아닙니다.

분수 지수의 정의역을 무시하는 경우

실수 범위의 대수에서는 $(-9)^{1/2}$는 실수가 아닙니다. 근의 법칙을 쓰기 전에, 그 근이 현재 사용하는 수 체계에서 존재하는지 확인해야 합니다.

지수는 어디에 쓰일까요?

지수는 대수, 과학적 표기법, 지수적 증가와 감소, 로그에서 자주 등장합니다. 반복 곱셈, 크기 변화, 또는 $10$의 거듭제곱이 나오는 곳에서는 특히 유용합니다.

직접 해 보세요

$x^5 \cdot x^{-2}$, $\frac{a^7}{a^3}$, $81^{3/4}$를 각각 간단히 해 보세요. 각 문제에서 먼저 어떤 법칙을 썼는지 말하고, 그 단계가 성립하는 조건도 확인해 보세요.