Indeks — Hukum Indeks & Eksponen Pecahan

Indeks adalah eksponen. Indeks menunjukkan berapa kali suatu basis digunakan sebagai faktor, dan hukum indeks memberi tahu cara menyederhanakan perpangkatan tanpa menguraikan semuanya. Indeks pecahan memperluas gagasan yang sama ke bentuk akar, tetapi ekspresinya tetap harus terdefinisi.

Untuk eksponen bilangan bulat positif, $a^n$ berarti mengalikan $a$ dengan dirinya sendiri sebanyak $n$ kali. Misalnya, $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Apa yang dinyatakan oleh hukum indeks

Ini adalah aturan utama yang paling sering digunakan siswa:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$

Syarat-syarat ini penting. Anda hanya bisa langsung menambahkan atau mengurangkan eksponen ketika basisnya sama, dan aturan hasil bagi memerlukan penyebut tak nol.

Basis sama: tambah saat mengalikan, kurangi saat membagi

Jika basisnya sama, perkalian menggabungkan kelompok faktor yang sama:

$$x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$$

Pembagian menghilangkan faktor-faktor yang sama:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5 \quad (y \ne 0)$$

Ini adalah cara tercepat untuk menghindari kesalahan umum: $a^m + a^n$ tidak sama dengan $a^{m+n}$. Aturan menambahkan eksponen berlaku untuk perkalian, bukan penjumlahan.

Tanda kurung mengubah aturan

Ketika suatu perpangkatan dipangkatkan lagi, kalikan eksponennya:

$$(z^3)^4 = z^{12}$$

Ketika seluruh hasil kali atau hasil bagi berada di dalam tanda kurung, eksponen di luar berlaku pada setiap faktor:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

Indeks nol, negatif, dan pecahan

Untuk setiap basis tak nol,

$$a^0 = 1$$

dan

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Eksponen negatif tidak berarti hasilnya negatif. Artinya, ambil kebalikannya.

Eksponen pecahan menghubungkan eksponen dengan akar:

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$ $$a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Untuk bilangan real, akarnya harus ada. Jika $n$ genap, maka harus berlaku $a \ge 0$. Jika $n$ ganjil, nilai negatif untuk $a$ diperbolehkan. Jadi $16^{1/2} = 4$, tetapi $(-16)^{1/2}$ bukan bilangan real.

Contoh kerja: sederhanakan $16^{3/4} \cdot 16^{-1/2}$

Mulai dengan aturan basis sama:

$$16^{3/4} \cdot 16^{-1/2} = 16^{3/4 - 1/2} = 16^{1/4}$$

Sekarang tulis ulang indeks pecahan sebagai akar:

$$16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$$

Jadi seluruh ekspresi menyederhana menjadi $2$. Ini adalah model yang baik untuk banyak soal ujian: gabungkan eksponennya terlebih dahulu jika basisnya sama, lalu tulis ulang eksponen pecahan yang tersisa.

Kesalahan umum pada indeks

Menggunakan hukum pada penjumlahan

$$a^m + a^n \ne a^{m+n}$$

Hanya perkalian yang memungkinkan Anda menambahkan eksponen secara langsung.

Lupa syarat basis sama

$$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3,$$

bukan $6^6$. Eksponennya tidak dijumlahkan karena basis awalnya berbeda.

Salah membaca eksponen negatif

$$x^{-2} = \frac{1}{x^2},$$

bukan $-x^2$.

Mengabaikan domain eksponen pecahan

Dalam aljabar bilangan real, $(-9)^{1/2}$ bukan bilangan real. Sebelum menggunakan aturan akar, periksa apakah akar tersebut ada dalam sistem bilangan yang sedang Anda gunakan.

Di mana indeks digunakan

Indeks muncul dalam aljabar, notasi ilmiah, pertumbuhan dan peluruhan eksponensial, serta logaritma. Indeks berguna setiap kali muncul perkalian berulang, penskalaan, atau pangkat dari $10$.

Coba versi Anda sendiri

Coba sederhanakan $x^5 \cdot x^{-2}$, $\frac{a^7}{a^3}$, dan $81^{3/4}$. Untuk masing-masing, sebutkan hukum mana yang Anda gunakan terlebih dahulu dan periksa syarat yang membuat langkah itu valid.