เลขยกกำลัง — กฎของเลขชี้กำลังและเลขชี้กำลังเศษส่วน

Indices คือเลขชี้กำลัง ใช้บอกว่าฐานถูกนำมาคูณเป็นตัวประกอบกี่ครั้ง และกฎของเลขชี้กำลังช่วยให้คุณย่อรูปกำลังได้โดยไม่ต้องกระจายทั้งหมด เลขชี้กำลังเศษส่วนขยายแนวคิดเดียวกันไปสู่ราก แต่พจน์นั้นยังต้องมีนิยามอยู่

สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็มบวก $a^n$ หมายถึงนำ $a$ มาคูณกับตัวเอง $n$ ครั้ง ตัวอย่างเช่น $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

กฎของเลขชี้กำลังบอกอะไรบ้าง

นี่คือกฎหลักที่นักเรียนใช้บ่อยที่สุด:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$

เงื่อนไขเหล่านี้สำคัญมาก คุณจะบวกหรือลบเลขชี้กำลังโดยตรงได้ก็ต่อเมื่อฐานเหมือนกัน และกฎของการหารต้องมีตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

ฐานเดียวกัน: คูณให้บวก หารให้ลบ

ถ้าฐานตรงกัน การคูณคือการรวมกลุ่มของตัวประกอบเดียวกัน:

$$x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$$

การหารคือการตัดตัวประกอบที่ซ้ำกันออก:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5 \quad (y \ne 0)$$

นี่เป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: $a^m + a^n$ ไม่เหมือนกับ $a^{m+n}$ กฎการบวกเลขชี้กำลังใช้กับการคูณ ไม่ใช่การบวก

วงเล็บทำให้กฎเปลี่ยนไป

เมื่อยกกำลังของกำลังอีกที ให้คูณเลขชี้กำลังเข้าด้วยกัน:

$$(z^3)^4 = z^{12}$$

เมื่อทั้งผลคูณหรือผลหารอยู่ในวงเล็บ เลขชี้กำลังด้านนอกจะกระจายไปยังทุกตัวประกอบ:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

เลขชี้กำลังศูนย์ ติดลบ และเศษส่วน

สำหรับฐานใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์

$$a^0 = 1$$

และ

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

เลขชี้กำลังติดลบไม่ได้แปลว่าคำตอบติดลบ แต่แปลว่าให้กลับเศษเป็นส่วนกลับ

เลขชี้กำลังเศษส่วนเชื่อมเลขชี้กำลังเข้ากับราก:

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$ $$a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

ในจำนวนจริง รากนั้นต้องมีอยู่จริง ถ้า $n$ เป็นจำนวนคู่ ต้องมี $a \ge 0$ แต่ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ ค่า $a$ ที่ติดลบก็ใช้ได้ ดังนั้น $16^{1/2} = 4$ แต่ $(-16)^{1/2}$ ไม่เป็นจำนวนจริง

ตัวอย่างทำโจทย์: ย่อรูป $16^{3/4} \cdot 16^{-1/2}$

เริ่มจากกฎฐานเดียวกัน:

$$16^{3/4} \cdot 16^{-1/2} = 16^{3/4 - 1/2} = 16^{1/4}$$

จากนั้นเขียนเลขชี้กำลังเศษส่วนใหม่ให้อยู่ในรูปราก:

$$16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$$

ดังนั้นพจน์ทั้งหมดจึงย่อรูปได้เป็น $2$ นี่เป็นแบบอย่างที่ดีสำหรับโจทย์สอบหลายข้อ: ถ้าฐานตรงกัน ให้รวมเลขชี้กำลังก่อน แล้วค่อยเขียนเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เหลือใหม่

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับเลขชี้กำลัง

ใช้กฎกับการบวก

$$a^m + a^n \ne a^{m+n}$$

มีเพียงการคูณเท่านั้นที่ทำให้บวกเลขชี้กำลังได้โดยตรง

ลืมเงื่อนไขว่าฐานต้องเหมือนกัน

$$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3,$$

ไม่ใช่ $6^6$ เลขชี้กำลังไม่ถูกนำมาบวกกัน เพราะฐานเดิมต่างกัน

อ่านเลขชี้กำลังติดลบผิด

$$x^{-2} = \frac{1}{x^2},$$

ไม่ใช่ $-x^2$

มองข้ามโดเมนของเลขชี้กำลังเศษส่วน

ในพีชคณิตของจำนวนจริง $(-9)^{1/2}$ ไม่เป็นจำนวนจริง ก่อนใช้กฎของราก ให้ตรวจว่ารากนั้นมีอยู่ในระบบจำนวนที่คุณกำลังใช้หรือไม่

เลขชี้กำลังถูกใช้ที่ไหน

เลขชี้กำลังพบได้ในพีชคณิต สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ การเติบโตและการสลายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล และลอการิทึม มีประโยชน์ทุกครั้งที่มีการคูณซ้ำ การสเกล หรือกำลังของ $10$

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองย่อรูป $x^5 \cdot x^{-2}$, $\frac{a^7}{a^3}$ และ $81^{3/4}$ สำหรับแต่ละข้อ ให้บอกว่าคุณใช้กฎข้อไหนก่อน และตรวจเงื่อนไขที่ทำให้ขั้นตอนนั้นใช้ได้