Giải thích logarit

Logarit cho biết số mũ nào biến một số thành một số khác. Ví dụ, $\log_2(8) = 3$ vì $2^3 = 8$.

Nói chung, nếu

$$\log_b(x) = y$$

thì

$$b^y = x$$

Đó là toàn bộ ý tưởng. Logarit là phép ngược của lũy thừa.

Với logarit nhận giá trị thực, các điều kiện rất quan trọng: cơ số phải thỏa mãn $b > 0$ và $b \ne 1$, còn đầu vào phải thỏa mãn $x > 0$.

Logarit có nghĩa là gì

Đọc $\log_b(x)$ là "số mũ của $b$ để được $x$". Cách diễn đạt bằng lời này thường dễ nhớ hơn ký hiệu.

Ví dụ,

$$\log_{10}(100) = 2$$

vì

$$10^2 = 100$$

Mẫu hình luôn giống nhau. Nếu ký hiệu có vẻ trừu tượng, hãy đổi nó sang phương trình mũ trước.

Vì sao logarit hữu ích

Số mũ mô tả phép nhân lặp lại và sự tăng trưởng rất nhanh. Logarit đi ngược lại ý tưởng đó.

Vì thế, logarit hữu ích khi đã biết kết quả nhưng chưa biết số mũ. Chúng cũng biến các thay đổi theo phép nhân thành thay đổi theo phép cộng, nên xuất hiện trong mô hình tăng trưởng, mức âm thanh, thang độ axit và thuật toán.

Ví dụ có lời giải: vì sao logarit có thể âm

Tìm

$$\log_2\left(\frac{1}{8}\right)$$

Đổi sang dạng mũ:

$$2^y = \frac{1}{8}$$

Bây giờ hãy hỏi lũy thừa nào của $2$ cho ra $\frac{1}{8}$. Vì

$$2^{-3} = \frac{1}{8}$$

nên đáp án là

$$\log_2\left(\frac{1}{8}\right) = -3$$

Điều này giúp làm rõ một nhầm lẫn phổ biến. Logarit có thể cho ra kết quả âm dù đầu vào của nó vẫn phải dương.

Những lỗi thường gặp về logarit

1. Nhầm lẫn giữa đầu vào và đầu ra. Trong $\log_b(x) = y$, đầu vào là $x$ và kết quả là số mũ $y$.
2. Quên miền xác định. Với logarit thực, $\log_b(x)$ chỉ xác định khi $x > 0$.
3. Nghĩ rằng logarit âm có nghĩa là đầu vào âm. Không phải vậy. Điều đó có nghĩa là số mũ cần tìm là số âm.
4. Bỏ qua cơ số. $\log_2(8) = 3$, nhưng $\log_{10}(8)$ không phải là $3$.
5. Đọc ký hiệu như phép chia thông thường. $\log_b(x)$ được xác định bởi quan hệ số mũ $b^y = x$. Đồng nhất thức $\log_b(x) = \frac{\log(x)}{\log(b)}$ là một quy tắc đổi cơ số riêng.

Khi nào logarit được dùng

Bạn sẽ gặp logarit khi:

1. Giải phương trình mũ
2. Đo các đại lượng trải trên nhiều thang bậc, như decibel hoặc pH
3. Phân tích tăng trưởng, suy giảm hoặc thời gian gấp đôi
4. Rút gọn công thức trong đại số, giải tích, thống kê và khoa học máy tính

Hãy đổi mọi logarit thành số mũ

Nếu ký hiệu có vẻ trừu tượng, hãy đổi ngay:

$$\log_b(x) = y \iff b^y = x$$

Chỉ với một phép đổi này, bạn sẽ gỡ được phần lớn sự nhầm lẫn của người mới học.

Tự thử một ví dụ của bạn

Hãy lấy một mệnh đề mũ như $3^4 = 81$ rồi viết lại dưới dạng logarit. Sau đó làm ngược lại với một biểu thức như $\log_{10}(0.01)$ và kiểm tra xem số mũ nào làm cho mệnh đề đúng.