Cramersche Regel — Lineare Gleichungssysteme mit Determinanten lösen

Die Cramersche Regel löst ein quadratisches lineares Gleichungssystem mithilfe von Determinanten. Dabei ersetzt man jeweils eine Spalte, berechnet eine Determinante und teilt durch die Determinante der ursprünglichen Koeffizientenmatrix. Sie funktioniert nur, wenn $\det(A) \ne 0$.

Wenn das System als

$$Ax = b$$

geschrieben ist und $A$ quadratisch mit $\det(A) \ne 0$ ist, dann hat das System eine eindeutige Lösung, und die Cramersche Regel kann jede Variable direkt bestimmen.

Formel der Cramerschen Regel

Für die Variable $x_i$ gilt

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

wobei $A_i$ die Matrix ist, die entsteht, wenn man die $i$-te Spalte von $A$ durch die Konstanten aus $b$ ersetzt.

Diese Bedingung ist wichtig. Wenn $\det(A) = 0$, ist der Nenner null, also liefert die Cramersche Regel keine eindeutige Lösung.

Wann du die Cramersche Regel verwenden kannst

Verwende sie nur, wenn alle folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Das System hat gleich viele Gleichungen wie Unbekannte.
2. Die Koeffizientenmatrix ist quadratisch.
3. Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist nicht null.

Wenn eine Bedingung nicht erfüllt ist, solltest du hier aufhören. Eine Determinante von null bedeutet zum Beispiel, dass das System keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben kann, daher ist die Cramersche Regel nicht das richtige Werkzeug für eine eindeutige Lösung.

Ein $2 \times 2$-System Schritt für Schritt lösen

Löse

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Bestimme zuerst die Koeffizientenmatrix und die Konstantenspalte:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Berechne die Determinante von $A$:

$$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 1(1) = -3$$

Da $\det(A) = -3 \ne 0$, hat das System eine eindeutige Lösung, also ist die Cramersche Regel anwendbar.

$x$ bestimmen

Ersetze die erste Spalte von $A$ durch $b$:

$$A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Dann gilt

$$\det(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 5(-1) - 1(1) = -6$$

Teile jetzt durch die ursprüngliche Determinante:

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-6}{-3} = 2$$

$y$ bestimmen

Ersetze die zweite Spalte von $A$ durch $b$:

$$A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

Dann gilt

$$\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) - 5(1) = -3$$

Teile wieder durch $\det(A)$:

$$y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-3}{-3} = 1$$

Damit ist die Lösung

$$(x,y) = (2,1)$$

Das ist das ganze Muster: eine Determinante für die ursprüngliche Matrix und dann eine weitere Determinante für jede Variable.

Warum die Cramersche Regel wichtig ist

Die Cramersche Regel ist für große Systeme meist nicht die schnellste Methode. Sie wird gelernt, weil sie drei Ideen klar miteinander verbindet:

• lineare Gleichungssysteme lösen
• Determinanten
• die Bedingung für eine eindeutige Lösung

Wenn $\det(A) \ne 0$, hat das System genau eine eindeutige Lösung. Wenn $\det(A) = 0$, geht etwas schief: Es kann keine Lösung oder unendlich viele Lösungen geben.

Häufige Fehler bei der Cramerschen Regel

Anwendung bei $\det(A) = 0$

Das ist die wichtigste Prüfung. Die Cramersche Regel beruht auf der Division durch $\det(A)$, daher bedeutet eine Determinante von null, dass die Methode für eine eindeutige Lösung nicht anwendbar ist.

Die falsche Spalte ersetzen

Um $x$ zu berechnen, ersetzt man die $x$-Spalte. Um $y$ zu berechnen, ersetzt man die $y$-Spalte. Die Konstantenspalte wird nicht angehängt, sondern jeweils anstelle einer Spalte eingesetzt.

Sie als beste Methode für jedes System ansehen

Für größere Systeme sind Gauß-Elimination oder numerische Methoden meist praktischer. Die Cramersche Regel ist vor allem für kleine Systeme nützlich und um die Rolle von Determinanten zu verstehen.

Wann die Cramersche Regel verwendet wird

Du wirst die Cramersche Regel meist in Algebra- und Lineare-Algebra-Kursen sehen, wenn es eher um Verständnis als um Geschwindigkeit geht. Sie ist besonders nützlich, wenn du zeigen möchtest, wie jede Variable von den Koeffizienten und Konstanten abhängt.

In der Praxis ist sie am angenehmsten für $2 \times 2$-Systeme und manchmal für $3 \times 3$-Systeme. Darüber hinaus wächst der Aufwand für die Determinanten schnell, sodass sie nicht mehr die Standardmethode ist.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche zu lösen

$$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 0 \end{cases}$$

Berechne zuerst $\det(A)$. Wenn sie ungleich null ist, ersetze jeweils eine Spalte und bestimme $x$ und $y$. Wenn du die Rechnung von Hand abgeschlossen hast, vergleiche deinen Ansatz mit einem Matrixlöser, um sowohl die Determinanten als auch das Endergebnis zu überprüfen.