Regola di Cramer — Risolvere sistemi con i determinanti

La regola di Cramer risolve un sistema quadrato di equazioni lineari usando i determinanti. Si sostituisce una colonna alla volta, si calcola un determinante e si divide per il determinante della matrice dei coefficienti originale. Funziona solo quando $\det(A) \ne 0$.

Se il sistema è scritto come

$$Ax = b$$

e $A$ è quadrata con $\det(A) \ne 0$, allora il sistema ha un'unica soluzione e la regola di Cramer permette di trovare direttamente ogni variabile.

Formula della regola di Cramer

Per la variabile $x_i$, la regola è

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

dove $A_i$ è la matrice ottenuta sostituendo la colonna $i$-esima di $A$ con i termini noti di $b$.

La condizione è importante. Se $\det(A) = 0$, il denominatore è zero, quindi la regola di Cramer non fornisce una soluzione unica.

Quando puoi usare la regola di Cramer

Usala solo quando tutte queste condizioni sono vere:

1. Il sistema ha lo stesso numero di equazioni e incognite.
2. La matrice dei coefficienti è quadrata.
3. Il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero.

Se anche una sola condizione non è soddisfatta, fermati lì. Per esempio, un determinante nullo significa che il sistema può non avere soluzioni oppure averne infinite, quindi la regola di Cramer non è lo strumento giusto per trovare una soluzione unica.

Risolvi un sistema $2 \times 2$ passo dopo passo

Risolvi

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Per prima cosa individua la matrice dei coefficienti e la colonna dei termini noti:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Calcola il determinante di $A$:

$$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 1(1) = -3$$

Poiché $\det(A) = -3 \ne 0$, il sistema ha un'unica soluzione, quindi la regola di Cramer si può applicare.

Trova $x$

Sostituisci la prima colonna di $A$ con $b$:

$$A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Poi

$$\det(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 5(-1) - 1(1) = -6$$

Ora dividi per il determinante originale:

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-6}{-3} = 2$$

Trova $y$

Sostituisci la seconda colonna di $A$ con $b$:

$$A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

Poi

$$\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) - 5(1) = -3$$

Di nuovo, dividi per $\det(A)$:

$$y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-3}{-3} = 1$$

Quindi la soluzione è

$$(x,y) = (2,1)$$

Questo è lo schema completo: un determinante per la matrice originale, poi un altro determinante per ciascuna variabile.

Perché la regola di Cramer è importante

La regola di Cramer di solito non è il metodo più veloce per un sistema grande. Si studia perché collega in modo chiaro tre idee:

• risoluzione di sistemi lineari
• determinanti
• condizione per avere una soluzione unica

Se $\det(A) \ne 0$, il sistema ha un'unica soluzione. Se $\det(A) = 0$, qualcosa si rompe: può non esserci alcuna soluzione oppure possono essercene infinite.

Errori comuni con la regola di Cramer

Usarla quando $\det(A) = 0$

Questo è il controllo principale. La regola di Cramer si basa sulla divisione per $\det(A)$, quindi un determinante nullo significa che il metodo non si applica per ottenere una soluzione unica.

Sostituire la colonna sbagliata

Per risolvere rispetto a $x$, sostituisci la colonna di $x$. Per risolvere rispetto a $y$, sostituisci la colonna di $y$. La colonna dei termini noti non si aggiunge: sostituisce una colonna alla volta.

Considerarla il metodo migliore per ogni sistema

Per sistemi più grandi, la riduzione di righe o i metodi numerici sono di solito più pratici. La regola di Cramer è soprattutto utile per sistemi piccoli e per capire il ruolo dei determinanti.

Quando si usa la regola di Cramer

Di solito incontrerai la regola di Cramer nei corsi di algebra e algebra lineare quando l'obiettivo è capire il metodo più che la velocità. È particolarmente utile quando vuoi mostrare come ogni variabile dipenda dai coefficienti e dai termini noti.

In pratica, è più comoda per i sistemi $2 \times 2$ e talvolta per i sistemi $3 \times 3$. Oltre questi casi, il lavoro sui determinanti cresce rapidamente, quindi smette di essere il metodo predefinito.

Prova un esercizio simile

Prova a risolvere

$$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 0 \end{cases}$$

Per prima cosa calcola $\det(A)$. Se è diverso da zero, sostituisci una colonna alla volta e trova $x$ e $y$. Dopo aver finito a mano, confronta l'impostazione con un risolutore di matrici per verificare sia i determinanti sia la risposta finale.