Boxplots — Quartile, IQR & zeichnen

Ein Boxplot, auch Box-and-Whisker-Plot genannt, zeigt, wo ein Datensatz zentriert ist und wie stark er gestreut ist. Er hebt den Median, die mittleren $50\%$ der Daten und die Werte an den Rändern hervor, sodass du die Gesamtform schnell erkennen kannst.

Die wichtigsten Kennwerte sind das erste Quartil $Q_1$, der Median, das dritte Quartil $Q_3$ und der Interquartilsabstand $IQR = Q_3 - Q_1$. Eine Bedingung ist dabei sofort wichtig: Quartile sind nicht durch eine einzige universelle Regel festgelegt. Wenn deine Klasse, dein Lehrbuch oder deine Software eine bestimmte Quartilsmethode verwendet, dann bleibe von Anfang bis Ende bei genau dieser Methode.

Was ein Boxplot auf einen Blick zeigt

Die Box reicht von $Q_1$ bis $Q_3$ und enthält damit die mittleren $50\%$ der Daten. Die Linie in der Box ist der Median.

Die Whisker zeigen, wie weit die Daten über die Box hinaus reichen. In manchen Boxplots gehen sie bis zum Minimum und Maximum. In anderen enden sie bei den äußersten Werten, die nicht als Ausreißer behandelt werden. Du musst diese Regel kennen, bevor du entscheidest, was die Whisker bedeuten.

Wie Quartile und IQR funktionieren

Der Interquartilsabstand misst die Streuung der mittleren Hälfte der Daten:

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

Ein größerer $IQR$ bedeutet, dass die mittlere Hälfte stärker gestreut ist. Ein kleinerer $IQR$ bedeutet, dass sie enger beieinanderliegt.

So zeichnest du einen Boxplot Schritt für Schritt

Verwende jedes Mal dieselbe Reihenfolge:

1. Sortiere die Daten vom kleinsten zum größten Wert.
2. Bestimme den Median.
3. Bestimme $Q_1$ und $Q_3$ mit der Quartilsregel, die du verwenden sollst.
4. Zeichne eine Zahlengerade und markiere $Q_1$, den Median und $Q_3$.
5. Zeichne die Box von $Q_1$ bis $Q_3$ und die Medianlinie hinein.
6. Ergänze die Whisker nach der Regel, die in deinem Unterricht oder in deiner Software verwendet wird.

Durchgerechnetes Beispiel: Quartile für einen Boxplot bestimmen

Beginne mit dem geordneten Datensatz

$$2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18$$

Es gibt $9$ Werte, also ist der Median der fünfte Wert:

$$\text{median} = 8$$

Für dieses Beispiel verwenden wir die in der Schule häufige Regel, bei der der Gesamtmedian beim Bestimmen der unteren und oberen Hälfte ausgeschlossen wird.

Die untere Hälfte ist

$$2,\ 4,\ 5,\ 7$$

also gilt

$$Q_1 = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$$

Die obere Hälfte ist

$$9,\ 12,\ 15,\ 18$$

also gilt

$$Q_3 = \frac{12 + 15}{2} = 13.5$$

Nun bestimmen wir den Interquartilsabstand:

$$IQR = 13.5 - 4.5 = 9$$

Damit erhältst du die wichtigsten Markierungen für die Box:

$$Q_1 = 4.5,\quad \text{median} = 8,\quad Q_3 = 13.5$$

Wenn die Whisker bis zum Minimum und Maximum reichen, dann gehen sie bis $2$ und $18$. Die Box reicht also von $4.5$ bis $13.5$, die Medianlinie liegt bei $8$, und der gesamte Plot reicht von $2$ bis $18$.

So liest du einen Boxplot schnell

Beginne mit dem Median, um die Mitte der Daten zu finden.

Prüfe dann die Breite der Box. Eine schmale Box bedeutet, dass die mittlere Hälfte eng beieinanderliegt. Eine breite Box bedeutet, dass sie stärker gestreut ist.

Vergleiche zum Schluss die Whisker und die Lage des Medians innerhalb der Box. Wenn eine Seite deutlich länger ist, kann die Verteilung auf dieser Seite stärker gestreckt sein.

Häufige Fehler bei Boxplots

Überspringe nicht das Sortieren. Wenn die Daten nicht geordnet sind, sind Median und Quartile falsch.

Gehe nicht davon aus, dass jeder Boxplot dieselbe Quartilsregel oder dieselbe Whisker-Regel verwendet. Zwei korrekte Plots können unterschiedlich aussehen, wenn sie mit verschiedenen Konventionen erstellt wurden.

Lies die Ränder der Box nicht als Minimum und Maximum. Meist markieren sie stattdessen $Q_1$ und $Q_3$.

Gehe nicht davon aus, dass eine breitere Box in diesem Bereich „mehr Daten“ bedeutet. Sie bedeutet, dass die Werte dort ein größeres Intervall auf der Zahlengeraden abdecken.

Wann Boxplots nützlich sind

Boxplots sind nützlich, wenn du schnell einen Überblick über Lage und Streuung bekommen möchtest, ohne jeden einzelnen Wert aufzulisten. Besonders hilfreich sind sie, wenn du zwei oder mehr Gruppen nebeneinander vergleichen willst.

Sie sind üblich im Statistikunterricht, in Laborberichten und in allen Situationen, in denen der Median und die mittlere Hälfte der Daten wichtiger sind als eine detaillierte Liste aller Werte.

Probiere deine eigene Version aus

Nimm einen kurzen sortierten Datensatz, bestimme die Fünf-Punkte-Zusammenfassung und skizziere den Boxplot von Hand. Vergleiche ihn dann mit einem Grafikwerkzeug, um zu prüfen, ob deine Quartilsregel und deine Whisker-Regel zum Ergebnis passen.