表面積 — 立体図形の公式まとめ

表面積とは、立体の外側全体の面積のことです。立体を紙で包む場面をイメージすると、表面積はその紙がどれだけ必要かを表します。

公式は図形の種類や、どの部分を含めるかによって変わります。以下の公式は閉じた立体に対するものなので、外側のすべての面や曲面を数えます。

よく使う立体図形の表面積の公式

1辺の長さが $a$ の立方体:

$$SA = 6a^2$$

縦が $l$、横が $w$、高さが $h$ の直方体:

$$SA = 2(lw + lh + wh)$$

半径が $r$、高さが $h$ の円柱:

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$$

半径が $r$ の球:

$$SA = 4\pi r^2$$

半径が $r$、母線の長さが $l$ の円すい:

$$SA = \pi r^2 + \pi rl = \pi r(r+l)$$

円柱の公式では、$2\pi r^2$ の項が上下2つの円形の底面を表します。円すいの公式では、$\pi r^2$ の項が底面、$\pi rl$ の項が側面の曲面を表します。もし立体の一部が開いているなら、欠けている部分の面積を引きます。

表面積の意味

表面積は体積とは異なります。表面積は外側をおおう広さを平方単位で表し、体積は中に入る空間の大きさを立方単位で表します。

この違いは重要です。なぜなら、公式が答える問いが異なるからです。タンクにペンキを塗る、箱を包む、ボールの表面をおおうといった場面では表面積を使います。一方、タンクにどれだけ入るかを求めるなら体積を使います。

正しい表面積の公式の選び方

まず、次の2つを確認します。

1. 図形は何か。
2. どの長さが与えられているか。

問題で円柱の半径ではなく直径が与えられているなら、まず $r = d/2$ で直します。円すいで高さは与えられていても母線の長さが与えられていない場合は、その高さをそのまま $\pi r(r+l)$ に入れてはいけません。

直円すいでは、母線の長さは三平方の関係から

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

で求めます。ここで $h$ は垂直な高さです。

例題：円柱の表面積

半径 $3$ cm、高さ $8$ cm の円柱の表面積を求めます。

使う公式は

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

です。

$r = 3$、$h = 8$ を代入すると、

$$SA = 2\pi(3)^2 + 2\pi(3)(8)$$ $$SA = 18\pi + 48\pi = 66\pi$$

したがって、正確な表面積は

$$66\pi \text{ cm}^2$$

です。

小数で近似するなら、

$$66\pi \approx 207.3 \text{ cm}^2$$

となります。

この結果が自然なのは、円柱には2つの円形の底面と1つの側面があり、その3つすべてを数えているからです。

表面積でよくある間違い

1. 表面積と体積を混同すること。表面積は $\text{cm}^2$ のような平方単位を使い、立方単位ではありません。
2. 公式で半径が必要なのに直径をそのまま使うこと。
3. 1つの面や底面を数え忘れること。特に立方体、直方体、円柱で起こりやすいです。
4. 円すいで母線の長さの代わりに高さを使ってしまうこと。
5. 計算前に単位をそろえないこと。たとえば、一方が cm、もう一方が m のまま計算することです。

表面積が実際に使われる場面

表面積は、何かをおおう、塗る、コーティングする、外にさらされる部分を考えるときに役立ちます。たとえば、壁に塗るペンキ、箱を包む包装紙、缶のまわりに貼るラベル、ボールの外側の素材などが典型例です。

使う公式は物体の形に合っていなければなりません。ボールには球の公式が合います。形が球に近いからです。缶には円柱の公式が合います。形が円柱に近いからです。

表面積を手早く考えるコツ

平面図形では、面積は内側の広さを表します。立体では、表面積は外側にあるすべての面や曲面の面積を足し合わせたものです。

そのため、多くの公式は「いくつかの面積の和」という形になります。直方体では6つの長方形の面を足します。円柱では2つの円と1つの側面を足します。円すいでは1つの円と1つの側面を足します。

似た問題に挑戦してみよう

縦 $4$ cm、横 $5$ cm、高さ $7$ cm の直方体で、自分でも同じように解いてみましょう。外側全体の面積を求めたあと、答えが平方単位になっているか確認してください。

さらに一歩進めるなら、同じ立体の体積も求めて、単位を比べてみましょう。これが、表面積と体積を混同しないためのいちばん手早い方法です。