Diện tích bề mặt — Công thức cho mọi hình khối 3D

Diện tích bề mặt là tổng diện tích ở bên ngoài của một hình khối 3D. Nếu bạn tưởng tượng bọc một vật thể bằng giấy, thì diện tích bề mặt cho biết cần bao nhiêu giấy để phủ kín nó.

Công thức phụ thuộc vào hình dạng và những phần nào được tính. Các công thức dưới đây áp dụng cho khối kín, nên tính tất cả các mặt ngoài hoặc mặt cong bên ngoài.

Công thức diện tích bề mặt cho các hình khối 3D phổ biến

Hình lập phương có cạnh dài $a$:

$$SA = 6a^2$$

Hình hộp chữ nhật có chiều dài $l$, chiều rộng $w$ và chiều cao $h$:

$$SA = 2(lw + lh + wh)$$

Hình trụ tròn xoay vuông góc có bán kính $r$ và chiều cao $h$:

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$$

Hình cầu có bán kính $r$:

$$SA = 4\pi r^2$$

Hình nón tròn xoay vuông góc có bán kính $r$ và đường sinh $l$:

$$SA = \pi r^2 + \pi rl = \pi r(r+l)$$

Trong công thức của hình trụ, hạng tử $2\pi r^2$ tính cả hai đáy hình tròn. Trong công thức của hình nón, hạng tử $\pi r^2$ tính phần đáy và hạng tử $\pi rl$ tính mặt xung quanh. Nếu khối bị hở một phía, hãy trừ đi phần bị thiếu.

Diện tích bề mặt có nghĩa là gì

Diện tích bề mặt khác với thể tích. Diện tích bề mặt đo phần bao phủ bên ngoài theo đơn vị vuông, còn thể tích đo không gian bên trong theo đơn vị khối.

Sự khác biệt này quan trọng vì các công thức trả lời những câu hỏi khác nhau. Sơn một bồn chứa, gói một chiếc hộp hoặc phủ bên ngoài một quả bóng đều dùng diện tích bề mặt. Còn đổ đầy bồn chứa thì dùng thể tích.

Cách chọn đúng công thức diện tích bề mặt

Hãy bắt đầu bằng hai câu hỏi:

1. Đây là hình gì?
2. Đề bài cho những số đo nào?

Nếu bài toán cho đường kính của hình trụ thay vì bán kính, hãy đổi trước bằng $r = d/2$. Nếu bài toán cho chiều cao thẳng đứng của hình nón nhưng không cho đường sinh, đừng thay trực tiếp chiều cao đó vào $\pi r(r+l)$.

Với hình nón vuông góc, đường sinh được tính theo hệ thức Pythagore

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

trong đó $h$ là chiều cao thẳng đứng.

Ví dụ có lời giải: diện tích bề mặt của hình trụ

Giả sử một hình trụ tròn xoay vuông góc có bán kính $3$ cm và chiều cao $8$ cm. Hãy tìm tổng diện tích bề mặt của nó.

Dùng công thức

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Thay $r = 3$ và $h = 8$:

$$SA = 2\pi(3)^2 + 2\pi(3)(8)$$ $$SA = 18\pi + 48\pi = 66\pi$$

Vậy diện tích bề mặt chính xác là

$$66\pi \text{ cm}^2$$

Nếu cần giá trị gần đúng thập phân,

$$66\pi \approx 207.3 \text{ cm}^2$$

Kết quả này hợp lý vì hình trụ có hai đáy hình tròn và một mặt cong xung quanh, và cả ba phần đều được tính.

Những lỗi thường gặp khi tính diện tích bề mặt

1. Nhầm diện tích bề mặt với thể tích. Diện tích bề mặt dùng đơn vị vuông như $\text{cm}^2$, không phải đơn vị khối.
2. Dùng đường kính trong khi công thức cần bán kính.
3. Quên một mặt hoặc một đáy, đặc biệt với hình lập phương, hình hộp và hình trụ.
4. Dùng chiều cao thẳng đứng của hình nón thay cho đường sinh.
5. Trộn lẫn đơn vị trước khi tính, chẳng hạn một số đo dùng xentimét và số khác dùng mét.

Khi nào diện tích bề mặt được dùng trong bài toán thực tế

Diện tích bề mặt hữu ích khi bạn quan tâm đến việc phủ, bọc, sơn hoặc mức độ tiếp xúc bên ngoài. Những ví dụ quen thuộc gồm sơn tường, giấy gói cho một chiếc hộp, vật liệu làm nhãn quanh một lon, hoặc lớp vật liệu bên ngoài của một quả bóng.

Công thức phải phù hợp với vật thể. Công thức hình cầu phù hợp với quả bóng vì hình dạng của nó gần với hình cầu. Công thức hình trụ phù hợp với lon vì hình dạng của nó gần với một hình trụ tròn xoay vuông góc.

Cách nghĩ nhanh về diện tích bề mặt

Với hình phẳng, diện tích đo phần bên trong. Với hình khối, diện tích bề mặt là tổng diện tích của tất cả các mặt hoặc bề mặt bên ngoài.

Đó là lý do nhiều công thức có dạng như “tổng của nhiều diện tích”. Hình hộp chữ nhật cộng sáu mặt hình chữ nhật. Hình trụ cộng hai hình tròn và một mặt cong. Hình nón cộng một hình tròn và một mặt cong.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy tự làm một phiên bản với hình hộp chữ nhật có kích thước $4$ cm, $5$ cm và $7$ cm. Tính tổng diện tích bên ngoài, rồi kiểm tra xem đáp án của bạn có ở đơn vị vuông hay không.

Nếu muốn đi thêm một bước, hãy tính thể tích của chính khối đó và so sánh đơn vị. Đây là cách nhanh nhất để không còn nhầm lẫn giữa diện tích bề mặt và thể tích.