ลำดับฟีโบนักชี — รูปแบบ สูตร และอัตราส่วนทองคำ

ลำดับฟีโบนักชีเป็นรูปแบบของจำนวนที่แต่ละพจน์เกิดจากผลบวกของสองพจน์ก่อนหน้า โดยใช้ข้อตกลงที่พบบ่อยคือ $F_0 = 0$ และ $F_1 = 1$ กฎคือ

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \qquad (n \ge 2)$$

ดังนั้นลำดับจึงเริ่มต้นเป็น

$$0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\dots$$

ถ้าคุณต้องการแค่แนวคิดหลัก ก็มีเพียงเท่านี้: เริ่มจากสองค่าแรก แล้วนำสองค่าก่อนหน้ามาบวกกันเพื่อหาค่าถัดไปเรื่อย ๆ

ลำดับฟีโบนักชีคืออะไร

ลำดับฟีโบนักชีนิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิด นั่นหมายความว่าแต่ละพจน์ใหม่สร้างจากพจน์ก่อนหน้า ไม่ได้มาจากกฎตรงเพียงกฎเดียวที่ใช้ครั้งเดียวจบ

ลำดับนี้ขึ้นอยู่กับข้อตกลงของค่าเริ่มต้น หนังสือเรียนจำนวนมากใช้ $F_0 = 0$ และ $F_1 = 1$ บางเล่มใช้ $F_1 = 1$ และ $F_2 = 1$ รูปแบบของจำนวนเหมือนกัน แต่ชื่อกำกับพจน์จะเลื่อนไป ดังนั้นควรตรวจสอบดัชนีก่อนเปรียบเทียบคำตอบเสมอ

สูตรของลำดับฟีโบนักชี

สูตรหลักคือความสัมพันธ์เวียนเกิด:

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$

สูตรนี้บอกว่าแต่ละพจน์มาจากสองพจน์ก่อนหน้า ตัวอย่างเช่น

$$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$$

นอกจากนี้ยังมีสูตรแบบปิด ซึ่งมักเรียกว่า สูตรของบิเนต์ ภายใต้ข้อตกลง $F_0 = 0$ และ $F_1 = 1$,

$$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$

โดยที่

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \qquad \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ การเริ่มจากความสัมพันธ์เวียนเกิดจะเข้าใจง่ายกว่า สูตรของบิเนต์มีประโยชน์เพราะเชื่อมจำนวนฟีโบนักชีกับเลขยกกำลังและอัตราส่วนทองคำ แต่คุณไม่จำเป็นต้องใช้สูตรนี้ในการสร้างพจน์ของลำดับ

ทำไมอัตราส่วนของฟีโบนักชีจึงเข้าใกล้อัตราส่วนทองคำ

สำหรับพจน์ฟีโบนักชีที่เป็นบวก อัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกันจะเข้าใกล้อัตราส่วนทองคำ:

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$$

กล่าวให้ชัดขึ้น ถ้าคุณพิจารณา

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}$$

เมื่อ $n$ มีค่ามากขึ้นเรื่อย ๆ และ $F_n \ne 0$ อัตราส่วนนี้จะเข้าใกล้ $\phi$ นั่นไม่ได้หมายความว่าอัตราส่วนทุกค่าจะเท่ากับ $\phi$ แต่หมายความว่าอัตราส่วนเหล่านี้ลู่เข้าไปหา $\phi$ เมื่อ $n$ มากขึ้น

ตัวอย่างทำโจทย์: หา $F_8$

ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดเพื่อหา $F_8$ แล้วตรวจสอบอัตราส่วนของพจน์ใกล้เคียง

เริ่มจาก

$$F_0 = 0,\qquad F_1 = 1$$

จากนั้นหาต่อไปทีละขั้น:

$$F_2 = 1,\quad F_3 = 2,\quad F_4 = 3,\quad F_5 = 5,\quad F_6 = 8,\quad F_7 = 13,\quad F_8 = 21$$

ดังนั้น

$$F_8 = 21$$

ตอนนี้เปรียบเทียบอัตราส่วนของพจน์ที่ติดกัน:

$$\frac{F_8}{F_7} = \frac{21}{13} \approx 1.615$$

ซึ่งใกล้เคียงกับ

$$\phi \approx 1.618$$

นี่คือความเชื่อมโยงสำคัญ: จำนวนฟีโบนักชีเป็นจำนวนเต็ม แต่อัตราส่วนของพจน์ที่ติดกันจะเคลื่อนเข้าใกล้อัตราส่วนทองคำ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับลำดับฟีโบนักชี

สับสนเรื่องดัชนีเริ่มต้น

ถ้าแหล่งหนึ่งเริ่มด้วย $F_0 = 0, F_1 = 1$ แต่อีกแหล่งเริ่มด้วย $F_1 = 1, F_2 = 1$ ชื่อพจน์เดียวกันอาจหมายถึงคนละจำนวน ควรตรวจสอบข้อตกลงก่อนเสมอ

คิดว่าอัตราส่วนจะเท่ากับอัตราส่วนทองคำเสมอ

อัตราส่วน $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ จะเข้าใกล้ $\phi$ เมื่อ $n$ มีค่ามาก แต่ในช่วงต้น ๆ เป็นเพียงค่าประมาณเท่านั้น ตัวอย่างเช่น $\frac{5}{3} \approx 1.667$ ซึ่งไม่เท่ากับ $\phi$

ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดโดยไม่มีค่าเริ่มต้นสองค่า

กฎนี้ต้องมีพจน์เริ่มต้นสองพจน์ หากไม่มี ลำดับจะยังไม่ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์

คิดว่าทุกรูปแบบที่ “เพิ่มขึ้น” คือฟีโบนักชี

รูปแบบหนึ่งจะเป็นฟีโบนักชีได้ก็ต่อเมื่อแต่ละพจน์เป็นผลบวกของสองพจน์ก่อนหน้าจริง ๆ ภายใต้ข้อตกลงค่าเริ่มต้นที่ระบุไว้ แค่ดูคล้ายกันยังไม่เพียงพอ

ลำดับฟีโบนักชีถูกใช้เมื่อไร

ลำดับฟีโบนักชีปรากฏในโจทย์การนับที่แต่ละกรณีสามารถสร้างจากสองกรณีก่อนหน้าได้ นอกจากนี้ยังเป็นตัวอย่างมาตรฐานในพีชคณิต คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง อัลกอริทึม และการพิสูจน์แบบอุปนัย

ลำดับนี้สำคัญมากกว่าหัวข้อนี้เพียงอย่างเดียว เพราะสอนแนวคิดพร้อมกันถึงสามอย่าง: นิยามแบบเวียนเกิด สูตรแบบปิด และพฤติกรรมการลู่เข้า นี่จึงเป็นเหตุผลที่มันปรากฏบ่อยในวิชาคณิตศาสตร์

ลองทำด้วยตัวเอง

เขียนลำดับไปจนถึง $F_{10}$ แล้วคำนวณ $\frac{F_{10}}{F_9}$ จากนั้นเปรียบเทียบผลลัพธ์ของคุณกับ $\phi \approx 1.618$

ถ้าต้องการลองต่ออีกหนึ่งกรณี ให้กำหนดดัชนีเป้าหมายใหม่ด้วยตัวเอง แล้วดูว่าอัตราส่วนนี้นิ่งเข้าใกล้ค่าเดิมเร็วแค่ไหน