Tassi correlati

In analisi, i tassi correlati consistono nel trovare quanto velocemente cambia una grandezza usando la sua relazione con un’altra grandezza di cui conosci già il tasso di variazione. L’idea chiave è semplice: scrivi l’equazione che collega le variabili, deriva rispetto al tempo, poi valuta tutto nell’istante specifico del problema.

Se $y$ dipende da $x$ e $x$ dipende da $t$, allora, supponendo che queste funzioni siano derivabili,

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$$

Questa regola della catena è il motore dei tassi correlati. La differenza è che il problema di solito parte da una situazione geometrica o fisica, non da una funzione già pronta.

Che cosa significa tassi correlati

I tassi sono correlati perché le variabili sono correlate. Se il raggio di un cerchio cambia, cambia anche la sua area. Se la lunghezza del lato di un cubo cambia, cambia anche il suo volume. L’equazione che collega le grandezze ti dice come un tasso influisce sull’altro nello stesso istante.

Lo schema principale è:

1. Definisci le variabili.
2. Scrivi l’equazione che le collega.
3. Deriva rispetto al tempo $t$.
4. Sostituisci i valori dell’istante che ti interessa.
5. Risolvi per il tasso incognito.

Perché si deriva prima di sostituire i numeri

In un problema di tassi correlati, le variabili sono funzioni del tempo che cambiano, anche quando nell’equazione $t$ non compare esplicitamente. Per questo

$$\frac{d}{dt}(r^2) = 2r\frac{dr}{dt},$$

e non semplicemente $2r$.

Se sostituisci un numero troppo presto, puoi eliminare una variabile che sta cambiando prima che compaia la sua derivata. Nei casi più semplici potresti comunque ottenere la risposta giusta per caso, ma il metodo non è affidabile.

Esempio svolto: area di un cerchio che si allarga

Supponiamo che il raggio di un cerchio stia aumentando con velocità

$$\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/s}.$$

Con quale velocità aumenta l’area quando $r = 5$ cm?

Parti dalla formula dell’area:

$$A = \pi r^2$$

Deriva entrambi i membri rispetto al tempo:

$$\frac{dA}{dt} = \pi \frac{d}{dt}(r^2)$$ $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$$

Ora sostituisci l’istante dato, $r = 5$ e $\frac{dr}{dt} = 3$:

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi(5)(3) = 30\pi$$

Quindi l’area sta aumentando con velocità

$$30\pi \text{ cm}^2/\text{s}.$$

Le unità contano. Il raggio si misura in centimetri, quindi l’area varia in centimetri quadrati al secondo.

Perché l’esempio funziona

La formula originale collegava $A$ e $r$, non $A$ e $t$. Il tempo entra solo quando deriviamo. Questo è il cuore dei tassi correlati: trattare ogni grandezza che cambia come una funzione del tempo, anche se l’equazione originale sembra puramente geometrica.

Per questo i tassi correlati usano spesso la derivazione implicita. Stai derivando un’equazione con più variabili collegate, e ogni variabile che cambia può produrre il proprio termine di variazione.

Errori comuni nei tassi correlati

1. Sostituire i valori prima di derivare.
2. Dimenticare che una variabile come $r$ o $y$ dipende dal tempo.
3. Usare l’istante sbagliato. Il problema chiede un momento specifico, non una variazione media generale.
4. Ignorare unità o segni. Una grandezza che diminuisce dovrebbe di solito produrre un tasso negativo.
5. Scrivere una formula che non corrisponde alla geometria o alla situazione fisica.

Quando usare i problemi di tassi correlati

I tassi correlati compaiono ogni volta che due grandezze che cambiano restano collegate da una legge.

I casi più comuni includono:

1. Geometria, come cerchi, sfere, coni e scale appoggiate.
2. Fisica, dove posizione, velocità e altre grandezze cambiano insieme.
3. Problemi di ingegneria o chimica in cui una grandezza misurata dipende da un’altra che cambia nel tempo.

Il metodo funziona solo finché la relazione che hai scritto è valida per la situazione. Se il modello cambia, può cambiare anche l’equazione dei tassi.

Una rapida checklist sui tassi correlati

Poniti tre domande:

1. Ho scritto la relazione prima di derivare?
2. Ogni variabile che cambia ha prodotto un termine di variazione quando ho derivato rispetto a $t$?
3. Le unità finali hanno senso?

Questo breve controllo intercetta una buona parte degli errori nei tassi correlati.

Prova una tua versione

Prendi lo stesso esempio del cerchio, ma cambia il tasso in $\frac{dr}{dt} = 1.5$ cm/s e valutalo quando $r = 8$ cm. Dopo, prova una versione con il volume di una sfera e osserva come il passaggio da $r^2$ a $r^3$ cambia la formula finale del tasso. Se vuoi fare un passo in più, prova la tua versione in un risolutore solo dopo aver scritto la relazione e aver derivato da solo.