Taxas relacionadas

Taxas relacionadas, no cálculo, significa descobrir com que rapidez uma grandeza muda usando sua relação com outra grandeza cuja taxa de variação você já conhece. A ideia principal é simples: escreva a equação que conecta as variáveis, derive em relação ao tempo e depois avalie no instante específico do problema.

Se $y$ depende de $x$ e $x$ depende de $t$, então, supondo que essas funções sejam diferenciáveis,

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$$

Essa regra da cadeia é o mecanismo por trás de taxas relacionadas. A diferença é que o problema geralmente começa com uma situação geométrica ou física, não com uma função já pronta.

O que significa taxas relacionadas

As taxas são relacionadas porque as variáveis são relacionadas. Se o raio de um círculo muda, sua área também muda. Se o comprimento da aresta de um cubo muda, seu volume também muda. A equação que conecta as grandezas mostra como uma taxa afeta a outra no mesmo instante.

O padrão principal é:

1. Defina as variáveis.
2. Escreva a equação que as relaciona.
3. Derive em relação ao tempo $t$.
4. Substitua os valores do instante que interessa.
5. Resolva para a taxa desconhecida.

Por que derivar antes de substituir números

Em um problema de taxas relacionadas, as variáveis são funções do tempo que estão mudando, mesmo quando a equação não mostra $t$ explicitamente. Por isso,

$$\frac{d}{dt}(r^2) = 2r\frac{dr}{dt},$$

e não apenas $2r$.

Se você substituir um número cedo demais, pode eliminar uma variável que ainda está mudando antes que sua derivada apareça. Em casos simples, você ainda pode chegar à resposta certa por sorte, mas o método não é confiável.

Exemplo resolvido: área de um círculo em crescimento

Suponha que o raio de um círculo esteja aumentando a uma taxa de

$$\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/s}.$$

Com que rapidez a área está aumentando quando $r = 5$ cm?

Comece com a fórmula da área:

$$A = \pi r^2$$

Derive os dois lados em relação ao tempo:

$$\frac{dA}{dt} = \pi \frac{d}{dt}(r^2)$$ $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$$

Agora substitua o instante dado, $r = 5$ e $\frac{dr}{dt} = 3$:

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi(5)(3) = 30\pi$$

Então a área está aumentando a uma taxa de

$$30\pi \text{ cm}^2/\text{s}.$$

As unidades importam. O raio é medido em centímetros, então a área varia em centímetros quadrados por segundo.

Por que o exemplo funciona

A fórmula original relacionava $A$ e $r$, não $A$ e $t$. O tempo entrou apenas quando derivamos. Esse é o coração de taxas relacionadas: trate cada grandeza que varia como uma função do tempo, mesmo que a equação original pareça puramente geométrica.

É também por isso que taxas relacionadas frequentemente usa diferenciação implícita. Você está derivando uma equação com várias variáveis ligadas entre si, e cada variável que muda pode gerar seu próprio termo de taxa.

Erros comuns em taxas relacionadas

1. Substituir valores antes de derivar.
2. Esquecer que uma variável como $r$ ou $y$ depende do tempo.
3. Usar o instante errado. O problema pede um momento específico, não uma variação média geral.
4. Ignorar unidades ou sinais. Uma grandeza que está diminuindo normalmente deve produzir uma taxa negativa.
5. Escrever uma fórmula que não corresponde à geometria ou à situação física.

Quando usar problemas de taxas relacionadas

Taxas relacionadas aparece sempre que duas grandezas que variam permanecem conectadas por uma regra.

Casos comuns incluem:

1. Geometria, como círculos, esferas, cones e escadas.
2. Física, em que posição, velocidade e outras grandezas mudam juntas.
3. Problemas de engenharia ou química em que uma grandeza medida depende de outra que está mudando ao longo do tempo.

O método só funciona enquanto a relação que você escreveu for válida para a situação. Se o modelo mudar, a equação da taxa também pode mudar.

Uma lista rápida para conferir taxas relacionadas

Faça três perguntas:

1. Eu escrevi a relação antes de derivar?
2. Cada variável que muda gerou um termo de taxa quando derivei em relação a $t$?
3. As unidades finais fazem sentido?

Essa verificação curta evita boa parte dos erros em taxas relacionadas.

Tente sua própria versão

Pegue o mesmo exemplo do círculo, mas mude a taxa para $\frac{dr}{dt} = 1.5$ cm/s e avalie quando $r = 8$ cm. Depois disso, tente uma versão com o volume de uma esfera e observe como trocar $r^2$ por $r^3$ muda a fórmula final da taxa. Se quiser dar o próximo passo, tente sua própria versão em um solver só depois de escrever a relação e derivá-la por conta própria.