点傾き形式

点傾き形式は、直線を表す次の公式です。

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

この形は、垂直でない直線上の1点と傾きがわかっているときに使います。この式で、$(x_1, y_1)$ はわかっている点、$m$ は傾きです。傾き切片形式に直す前に、まず直線の式を書く最も速い方法になることがよくあります。

点傾き形式の意味

傾きは、縦の変化と横の変化の比を表します。直線の傾きが $m$ なら、

$$m = \frac{y - y_1}{x - x_1}$$

ただし、$x \ne x_1$ のときです。両辺に $x - x_1$ をかけると、

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

となります。つまり、点傾き形式は、わかっている点が見える形のまま傾きの定義を書き直したものです。

この公式が便利な理由

$(x_1, y_1)$ を基準となる点だと考えてみましょう。$x - x_1$ は、その点から横にどれだけ動いたかを表します。そこに $m$ をかけると、それに対応する縦の変化がわかるので、$y - y_1$ は $m(x - x_1)$ に等しくなります。

この形がわかりやすいのはそのためです。1つの既知の点から出発して、傾きを使って直線を作っていけます。

例題：1点と傾きから直線を書く

傾きが $-4$ で、$(2, 3)$ を通る直線の式を求めます。

まず公式を書きます。

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

$m = -4$、$x_1 = 2$、$y_1 = 3$ を代入すると、

$$y - 3 = -4(x - 2)$$

これで、点傾き形式としてはすでに正しい最終答えです。

傾き切片形式にしたいなら、展開します。

$$y - 3 = -4x + 8$$ $$y = -4x + 11$$

どちらの式も同じ直線を表しています。点傾き形式と傾き切片形式は、同じ関係を別の形で書いたものです。

簡単に確認すると、ミスを防げます。与えられた点を代入してみましょう。

$$y - 3 = -4(2 - 2) = 0$$

したがって $y = 3$ となり、元の点 $(2, 3)$ と一致します。

点傾き形式でよくあるミス

1. 点の値を取り違えること。点が $(2, 3)$ なら、$y - 3$ と $x - 2$ と書きます。$y - 2$ や $x - 3$ ではありません。
2. 負の座標でマイナスを落とすこと。点が $(-1, 5)$ なら、$x - (-1)$ は $x + 1$ になります。
3. 必ず式を整理しないといけないと思うこと。$y - 3 = -4(x - 2)$ は、すでに有効な直線の式です。
4. 垂直な直線に点傾き形式を使うこと。垂直な直線の傾きは定義されないので、代わりに $x = c$ と書きます。

点傾き形式を使う場面

次の2つがどちらもわかっているときに、点傾き形式を使います。

1. 垂直でない直線上の1点
2. その直線の傾き

この形は、代数や座標幾何の問題でよく出てきます。多くの問題が、まさにその情報を与えるからです。また、2点から傾きを求めたあとで、さらに直線の式が必要なときにも便利です。

先に進む前のすばやい確認

問題で与えられた点を見直してみましょう。その点が $y - y_1 = m(x - x_1)$ の中にはっきり見えない場合や、代入しても両辺が等しくならない場合は、代入をどこかで間違えている可能性があります。

似た問題に挑戦

傾きが $\frac{1}{2}$ で、$(-4, 1)$ を通る直線を書いてみましょう。まず点傾き形式で書き、必要ならそのあとで傾き切片形式に直します。もう1つ比べたいなら、次に傾き切片形式を見て、同じ直線が2つの形式でどう見えるか比べてみてください。